Cuando añades un menor te piden libro de familia, su DNI, convenio regulador, sentencia de divorcio, etc. del mismo si el padre no está metido en vuestra unidad de convivencia... desconozco si tienes ya esos documentos o no... si los tienes y considerando que tu pareja (el padre) no está empadronado contigo, podrías meter solo al menor, pero si no tienes esos documentos que te pedirán igual sí que al final tendrás que empadronar ahí contigo al padre también y comunicar la variación de tu unidad de convivencia.
Si en realidad convivís los tres, pues lo más normal es que se empadrone contigo al igual que el menor y que se le comunique sin ambages a la Seguridad Social, con todo lo que ello implica (por ejemplo, que sus ingresos -los del padre- se te computarán para determinar que IMV te corresponde en realidad)