Si le has notificado en tiempo y forma que no quieres renovar el contrato y se queda, si tiene la obligación de seguir pagando mientras llegue la orden de desahucio. Si deja de pagar aparte del desahucio tendrás que reclamar todas las mensualidades impagadas. Si te paga pues mira, ni tan mal dentro de la situación.
Y si se va antes del desahucio, puedes reclamar las mensualidades impagadas y si pagó, pues ya no aplicaría ni pedir mensualidades ni desahucio.
No se si aplicaría daños y perjuicios, porque si no quisiste renovar por algo sería y al quedarse ese inquilino te impidió hacer uso del inmueble (por ejemplo, vivir tu) pero eso ya mejor que te asesore alguien profesional.