La media armónica

Hace un tiempo, un buen amigo que se estaba preparando una conocida certificación financiera, mientras repasaba la parte de estadística, me comentó que qué absurdo era que le hiciesen memorizar fórmulas que no se utilizaban nunca. Y puso como ejemplo la media armónica.

Y rápidamente le expliqué una de las utilidades más importantes y poderosas (y la más conocida) de la media armónica en mercados financieros. Para evitar el riesgo de acertar con el timing, una técnica muy útil es dividir la cantidad que pensemos destinar a la inversión, e ir comprando poco a poco en varias veces, en meses distintos. Esto nos permitirá comprar más títulos cuando el precio es bajo y menos cuando el precio es alto y obtener así un precio medio de compra inferior al precio medio del mercado.

Se ve mejor con un ejemplo: Imaginemos que tenemos 4.000 € para invertir en la acción ACME. No tenemos ni idea de qué hará la acción en el corto plazo, pero tenemos seguridad en ella de cara al largo plazo. Queremos evitar, eso sí, el ruido y el riesgo de comprar en máximos. Decidimos por lo tanto comprar una parte a final de cada trimestre del año.

Los precios de ACME a final de cada trimestre son:

1T: 8 €

2T: 4 €

3T: 5 €

4T: 10 €

Una acción inventada, no apta para cardíacos, cuyos números son perfectos para el ejemplo. 

Precio Medio (media aritmética): (8 + 4 + 5 + 10) / 4 = 6,75 €

Nosotros compramos 1.000 € a final de cada trimestre, para un total de 4.000 € de este modo:

1T: 1000 € / 8 € = 125 títulos

2T: 1000 € / 4 € = 250 títulos

3T: 1000 € / 5 € = 200 títulos

4T: 1000 € / 10 € = 100 títulos

Total: 675 títulos.

Si hubiéramos comprado a precio medio, tendríamos 4.000 € / 6,75 € = 592 títulos, menos de los 675 que efectivamente están en cartera. Por lo tanto hemos comprado a un precio inferior al precio medio: 5,92 €, que coincide con la media armónica.

 

Es decir: 4 / [ (1/8) + (1/4) + (1/5) + (1/10) ] = 4 / (0,125+0,25+0,20+0,10) = 5,92 €.

Matemáticas, hijo. ¿Ves cómo es importante la estadística?

 

Otra aplicación es en el cálculo del PER de una cartera. Imagina estas dos acciones: ACME y EMCA:

ACME: Precio = 10 €; Beneficio por acción = 1€; por lo tanto, PER  = 10/1 = 10.

MECA: Precio = 8 €; Beneficio por acción = 2 €; por lo tanto PER = 8/2 = 4.

PER medio (media aritmética = (10+4) / 2 = 7.

Sin embargo, una cartera compuesta por una acción de cada tendría un PER de 6 (PER de la cartera = Suma de precios de las acciones / Suma de beneficio por acción = (10+8) / (1+2) = 18 / 3 = 6).

Que coincide con la media armónica ponderada:

 

En resumen, que, en media, sueles usar la media inadecuada. Y si quieres hacer un buen rock and roll, no te olvides de la armónica.