Intenta pedir el nuevo contrato al arrendador o una copia de él para poder demostrar ante Hacienda que tienes alquilado el piso (Muy mal hecho por vuestra parte no firmar por duplicado ese contrato y quedaros con una copia). Por otra parte, aunque el DNI esté caducado eso no impide que se haya de poner a efectos fiscales y entre ciudadanos (No Jueces, Notarios, Registradores, Funcionarios si se ponen tontos,...) por muy caducado que esté, vale, así que otra vez poneos los dos. Pon la excusa de que lo quieres para que se empadrone tu pareja o para tu archivo o así.
Como sabes que hay un contrato que está a nombre de los dos (aunque no lo tengas) y dado que eso corresponde a la realidad, que es que vivís juntos, sólo podrás deducirte de la mitad; si no existiere ese segundo contrato podrías meter la totalidad de la renta como si fuera tuya, pero al haber ese otro, que seguramente sea el que presente el arrendador, yo no me arriesgaría, ya que Hacienda no te dirá nada porque te desgraves sólo la mitad y no el 100% (que además es lo justo).
De todas formas si Hacienda te requiere que demuestres que es tu vivienda habitual dí que no dispones de contrato pero aporta todos los datos que tengas (luz, agua, gas, empadronamiento,...)