Dudas sobre permiso de paternidad cuando se acaba contrato de trabajo - Seguridad Social

Buenos dias, voy a ser padre el próximo 1 de mayo y me corresponden dos dias y 8 semanas por paternidad. Hasta ahi bien. El problema es que mi contrato de trabajo termina el dia 12 de Mayo, por lo que si pido las 8 semanas no se que sucederá a partir del dia 13, que dejare de trabajar. Comentaros que tengo derecho a paro, pero no sé si al terminar mi contrato tendria que ir a comunicar a INEM mi situacion de estar con la ayuda de paternidad, para que asi la prestacion por desempleo no me cuente y se pare. Tengo un poco de lio. A ver si me podeis ayudar.

Te paso el enlace donde dispones de la información que solicitas:

https://www.sepe.es/contenidos/personas/prestaciones/estoy_cobrando_paro/estoy_en_situacion_de_maternidad.html

Saludos

Ya, si estando cobrando la prestación por desempleo sí se como va. El "problema" es que yo estaré trabajando cuando pida el permiso de paternidad, pero diez dias después estaré en paro. ¿Entonces que pasos debo seguir? ¿Tengo que ir al INEM cuando acabe el contrato de trabajo para que la SS pueda seguir pagandome la prestacion de paternidad?