El IBI es un tributo diferido a los ayuntamientos, que son los que lo recaudan, revisan y liquidan según el valor catastral de la finca, y calculan lo que el sujeto pasivo (en este caso tú) debe pagar. El valor catastral de la finca lo otorga el catastro, y debemos comunicarle a éste cualquier modificación, presentando en el catastro una instancia para actualizar datos. Por todo esto, a tu segunda pregunta creo que no, no se paga el mismo IBI, ya que el valor catastral esta integrado por el valor valor catastral del suelo y el valor catastral de las construcciones, por lo que pienso que no se pagará el mismo IBI en una vivienda en construcción, que en una finalizada.
Respecto a tu primera pregunta, la obra en construcción constará provisionalmente en el registro de inscripción, y cuando se finalice (previa certificación final de obras expedida por el técnico) se hará acta notarial y accederá al registro de la propiedad (concluye con la escritura). El valor de la inscripción de la vivienda en el Registro, depende del valor declarado de la vivienda en la escritura. Se paga una vez te comunican que la vivienda ya está inscrita y puedes pasar a recoger la escritura, y entre los gastos recuerda que debes incluir, honorarios de escritura, notaria, etc.
Espero haberte ayudado. Un saludo