Has de distinguir dos cosas:
1) Traspaso entre fondos: Tengo el fondo AAAA y lo quiero pasar al fondo BBBB.
2) Cambio de comercializadora de un fondo: Tengo el fondo CCCC en el banco XXXX, pero quiero pasar ese fondo CCCC al banco YYYY.
Si tu quieres conservar los fondos que tienes del BBVA, pero cambiar de banco, estarías en la segunda opción. En este caso has de buscar un banco que también comercialice esos dos fondos y pedir, desde el nuevo banco, un cambio de comercializadora. El proceso puede tardar varios dias, incluso semanas.
La única complicación es encontrar otro banco que comercialice esos productos. En este caso tendrías que buscar alguno que sea "supermercado" de fondos, tipo Inversis o parecido o hacerte cliente de Uno-e (grupo BBVA) -siempre y cuando tengan esos mismso fondos-, ya que ni ING ni Openbank comercializan fondos del BBVA.
En cambio, si decides traspasar los fondos que tienes a otros fondos de otro banco simplemente tienes que buscar que fondo quieres y quien lo comercializa e iniciar los tramites desde el nuevo banco.
Un saludo