DNI-e y TGSS

La manera en que cada web gestiona el DNI es diferente. En algunos casos la recogida de datos del certificado del DNI-e y su validación es realizada por el navegador. Otras webs instalan al usuario un cliente java que realiza estas funciones.
Esto y otros temas hacen que las webs sean más o menos "exigentes" con tu DNI-e. Puede pasar que una web, una vez que te valide, durante cierto tiempo te deje entrar más rápidamente sin realizar una validación completa, de manera que accedas aunque tu certificado tenga algún problema.
Como te han sugerido en un comentario anterior, lo primero sería comprobar en la página del DNI-e el estado de los certificados de tu DNI-e, especialmente el de autenticación que es el que validará la web de Cajamar.

Los certificados están recien re-instalados, por si las moscas.

Cuando solicitas la entrada por dni-e aparecen los certificados para que selecciones el correcto (tambien está el dni-e de mi mujer) y, una vez seleccionado, te solicita la contraseña. La introduces y te aparece un error en la página de entrada diciendo que el usuario y/o la contraseña son erróneos, pero el error te aparece en la parte de entrada normal, no en la del dni-e, como si ignorara el acceso por dni-e y tomara los campos en blanco del acceso normal.

Incluso he introducido la contraseña del dni-e errónea adrede a ver si reconocía el error y, efectivamente, me avisó (el propio dni-e) que era errónea y que quedaban 2 intentos antes de bloquearse, pero posteriormente el error de la página de entrada de Cajamar fue el mismo: creer que habia intentado entrar por la opción de usuario y contraseña y los había dejado en blanco.