Todos sabemos la maravilla del Interés Compuesto, donde se van acumulando los beneficios (= intereses) periódicamente,... beneficios que al ACUMULARSE van produciendo nuevos beneficios.
Quería comentaros aquí esta circunstancia, y llevarla hasta sus últimas consecuencias (Interés Compuesto CONTINUO). Y finalmente poner de manifiesto las implicaciones que esto tiene sobre el LARGO PLAZO.
Sabemos que si un Capital nos va dando una rentabilidad anual del r %, y el beneficio generado lo vamos acumulando (integrando) en el capital anualmente, el capital que vamos obteniendo a lo largo de los años (n años) es:
Cf = Ci * (1+i)^n
donde i=r/100 es el tanto por uno (y "n" hace de exponente).
Si estimamos que razonablemente la Bolsa nos da una rentabilidad anual del 8% (i=0,08), esto supone una capitalización final, al cabo de "n" años, de:
Cf = Ci * 1,08^n
Si calculamos el tanto por ciento total (R.n) que supone esa capitalización:
R.n = 100 * (Cf-Ci) / Ci = 100 * [ 1,08^n – 1 ]
Insisto, éste es el tanto por ciento TOTAL obtenido durante esos "n" años. Si queremos saber la rentabilidad a la que este beneficio equivale ANUALMENTE (% anual = r.n), no tenemos mas que dividir la cantidad anterior por el número de años "n":
r.n = Rn / n = 100 * ( 1.08^n – 1 ) / n
La siguiente tabla contiene los resultados de la fórmula enterior para varios años:
| n (años) | r.n (% anual) |
| 1 | 8 |
| 5 | 9,4 |
| 10 | 11,6 |
| 15 | 14,5 |
| 20 | 18,3 |
Aquí se ve perfectamente el beneficioso efecto de la acumulación de beneficios, que en este caso produce una duplicación de la rentabilidad anual en menos de 20 años.
Quiero destacar aquí muy especialmente, que este beneficio NO tiene nada que ver con un cambio (mejora) de política inversora, ni con una mejora operativa, ni una mejora de Gestión de Cartera,... esta mejora de rentabilidad (que dicho sea de paso hay que decir que es muy notoria), se produce simple y llanamente POR NO TOCAR NUESTRA INVERSION , es decir , POR DEJAR NUESTRO PATRIMONIO TOTALMENTE QUIETECITO.
Evidentemente vemos aquí una de las grandes ventajas (NO la única como comentaré al final) del muy LARGO PLAZO. Que como tantas veces he dicho es una de las cuestiones fundamentales de la Inversión.
Si somos rigurosos resulta que la cosa no acaba aquí, … va algo más allá.
La fórmula del interés compuesto que acabo de escribir es la que comúnmente se utiliza. La razón es simplemente porque generalmente el interés compuesto pactado en el ámbito bancario o financiero, es ANUAL. Pero hay que insistir aquí de que ese tipo de interés es PACTADO, tiene un contrato por en medio.
En el caso de la Bolsa, el tipo de interés NO forma parte de ningún pacto o convenio,... es un tipo COMPUESTO de interés por razones naturales. Es decir, la Bolsa no nos paga un interés compuesto por “nuestra cara bonita”, o por que lo hayamos pactado así con alguien. La Bolsa nos paga un interés compuesto porque surge así de forma lógica y natural.
Intentare explicarme, de una forma más concreta, mediante un ejemplo:
Si hoy tenemos 10000 euros invertidos en una empresa, y esta empresa tiene una subida del 2% al cierre de la sesión,... AUTOMATICAMENTE al final de la sesión tenemos en la empresa 10200 euros (y NO los 10000 iniciales),... ¿veis por dónde voy?.
Si al día siguiente suponemos que esta misma empresa vuelve a tener una subida del 1 %, este porcentaje no actúa sobre los 10000 euros iniciales, sino sobre los 10200 euros que ya teníamos acumulados, quedando por lo tanto un capital de:
10200 € + 1% (de 10200) = 10302 €
Obsérvese que si no se hubiera producido este efecto de acumulación, el capital final obtenido con las dos subidas (del 2% + 1%) seria de 10300 €. En términos absolutos, hay por tanto una diferencia de 2 € en este caso.
La conclusión importante es que en Bolsa la acumulación de beneficios NO es anual, ni mensual, ni siquiera diaria,... es INSTANTANEA !!!!. En cada instante, los beneficios (si se producen) se incorporan automáticamente en nuestra cartera, produciendo nuevos beneficios.
Dicho en pocas palabras, a efectos de valoración y remuneración, el Mercado hace la Contabilidad de nuestra cartera en cada Instante.
La consecuencia de todo esto es que la fórmula del Interés compuesto que os he presentado no es la exacta (aunque si resulta bastante aproximada). La fórmula exacta en este caso sería la del Interés Compuesto CONTINUO.
Sorprendentemente la deducción de esta fórmula no la he visto en ninguna parte. A mi se me ha ocurrido una forma de desarrollarla, pero como es un poco complicada, ya que requiere cálculo matemático algo sofisticado (cálculo diferencial), no la voy a desarrollar aquí. De todas formas, si estáis interesados en ello, no tendría ningún inconveniente en haceros la demostración (para mi es una cosa muy interesante, pero no creo que sea del interés general).
La fórmula en cuestión es la siguiente:
Cf = Ci * EXP( i * t) = Ci * e^(i*t) = Ci * 2,72^(i*t).
*) En esta fórmula Cf y Ci siguen siendo los capitales final e inicial respectivamente.
*) i = r/100 sigue siendo el tanto por uno anual (0,08 aproximadamente).
*) La variable discreta tiempo (n), ha sido sustituida por la variable CONTINUA t (también expresada en años).
*) Como novedad más notoria aparece la expresión EXPONENCIAL del número “e”. El número “e” es un famoso número matemático, cuyo valor aproximado es: e = 2,71828
En este caso, la rentabilidad al cabo de t años, expresada en tanto por ciento será:
R.t = 100 * (Cf-Ci) / Ci = 100 * [ e^(i*t) – 1 ]
Dividiendo por los t años, obtenemos la rentabilidad anual equivalente:
r.t = Rt / n = 100 * [ e^(i*t) – 1 ] / t
Si repetimos la misma tabla anterior con el nuevo resultado, obtenemos:
| n (años) | r.n (% anual) | r.t (% anual) |
| 1 | 8 | 8,3 |
| 5 | 9,4 | 9,8 |
| 10 | 11,6 | 12,3 |
| 15 | 14,5 | 15,5 |
| 20 | 18,3 | 19,8 |
Como era de esperar, puede observarse que hay una pequeña diferencia en favor del Interés Continuo, puesto que aquí se integran los beneficios con mayor rapidez (instantáneamente). Y como ya he dicho antes, este caso más favorable es el que debemos aplicar en el caso de la Bolsa.
ANEXO LARGO PLAZO:
Acabamos de ver que la rentabilidad de nuestra cartera aumenta EXPONENCIALENMTE a LARGO PLAZO.
En alguna ocasión ya he comentado, que la eficiencia de una cartera no sólo se debe medir por su rentabilidad, sino por dicha rentabilidad junto con el riesgo asumido para obtenerla (como es lógico).
Cuanto mayor es la rentabilidad mayor es la eficiencia, y cuanto menor es el riesgo asumido ( = Volatilidad) también mayor será la eficiencia. En definitiva la eficiencia de la cartera debe ser directamente proporcional a la rentabilidad, e inversamente proporcional al riesgo.
Matemáticamente esto supone que podemos expresar (y por tanto CUANTIFICAR) la eficiencia de una cartera mediante el siguiente cociente:
eficiencia = Rentabilidad / Volatilidad
Acabamos de demostrar que (en término medio) la rentabilidad anual aumenta exponencialmente con el tiempo. También se puede demostrar que la Volatilidad anual de una cartera disminuye en proporción inversa a la raíz cuadrada de la tiempo (esto no es nada trivial, pero quizás algún día lo explique en algún artículo).
Si la rentabilidad aumenta con el tiempo, y la volatilidad disminuye, la conclusión es que el cociente anterior de la eficiencia AUMENTA de forma aún más importante que sólo con la Rentabilidad.
En definitiva resulta que la eficiencia de una cartera a muy LARGO PLAZO aumenta de una forma escandalosa, y por lo tanto se concluye que el LARGO PLAZO es una de las herramientas más importantes y efectivas (sino la más) en la Inversion en Bolsa.
