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El futuro de la pandemia según las matemáticas

Al inicio de una epidemia el aumento de casos es exponencial, una función que sorprende a la mayoría por su explosivo crecimiento, sin embargo esto solo es la fase inicial de un modelo de crecimiento denominado sigmoide.

 

El modelo de crecimiento sigmoide más conocido fue propuesto por Pierre François Verhulst entre 1838 y 1847 y por ello se le suele llamar función de Verhulst o función logística. Sin embargo para multitud de procesos de crecimiento biológico se suele utilizar el modelo propuesto en 1825 por Benjamin Gompertz para estudiar la relación entre la edad y el incremento de la mortalidad en humanos. Lo que él denominaba "el agotamiento promedio del poder de un hombre para evitar la muerte", o la "porción de su poder restante para oponerse a la destrucción". La función de Gompertz, rápidamente adoptada por la industria de los seguros para proyectar el riesgo de muerte, es ampliamente utilizada en biología como modelo de regresión para estudiar el crecimiento de las poblaciones de animales, bacterias, crecimiento de tumores y supervivencia de pacientes de cáncer, y por supuesto modelos de infección.

Fig 1. Función de Gompertz (azul) y función de Verhulst (logística, rojo) utilizando la capacidad de calculadora gráfica del buscador de Google introduciendo las fórmulas tal y como están escritas.

1. La función de Gompertz

La función de Gompertz es muy similar a la función logística, pero se diferencia de ella en que es asimétrica. El crecimiento es más rápido al principio de la curva que al final. Esta pequeña diferencia la hace más apropiada para describir el crecimiento biológico.

La función de Gompertz es la solución a la ecuación diferencial que describe los cambios en la población (P) con el paso del tiempo (t) en función de su capacidad de crecimiento intrínseca (c, constante) y la máxima población que el ecosistema puede soportar, lo que se define como capacidad de carga (K, carrying capacity). Podéis consultar mi artículo sobre "El problema de la población humana", donde este concepto se explica con gran detalle. La ecuación diferencial que describe el comportamiento de las poblaciones es:

dP/dt = c ln(K/P)P

Esta ecuación cuando se integra y resuelve nos da la función de Gompertz, que describe los cambios en la población en función del tiempo:

P(t) = K e^-ln(K/P0) e^-ct

Donde P0 es el tamaño de la población inicial. Esta ecuación la podéis ver escrita de varias formas equivalentes. En Excel se puede introducir como:

=K*EXP((-LN(K/P0))*EXP((-C)*XX))

Donde K es el número que refleja el máximo de casos que se van a alcanzar, la asíntota superior.
P0 es el número de casos iniciales.
C es el número que corresponde a la constante de crecimiento.
XX es el primer número de celda de donde debe tomar el dato de tiempo (número de días desde el inicio).

Una de las propiedades de la función de Gompertz es que su segunda derivada se vuelve cero cuando la población alcanza el valor de la capacidad de carga dividido por e, P = K/e, (e = 2,718). Esto quiere decir que antes de alcanzar la mitad del total de casos que va a haber, el número de nuevos casos alcanza su máximo y comienza a descender. Como he indicado el descenso en el número de casos es más lento que el ascenso (figura 2). Esta es una de las principales diferencias con la función de Verhulst (logística) que es simétrica.

Fig. 2. Características de la función de Gompertz para una capacidad de carga K de 200.000 y una constante de crecimiento c de 0,06, con una P0 de 2 en el día 1. El pico de nuevos casos se alcanza en el día 42 con 4.400 casos al día.

2. La función de Gompertz para la pandemia de coronavirus

El crecimiento de una enfermedad infecciosa se puede ajustar a la función de Gompertz. Para ello hacen falta dos datos, uno es la capacidad de carga, que corresponde al máximo número de casos de infección que se van a alcanzar, el numero de población que habrá sido infectada al final del episodio epidémico. Este dato puede estimarse o calcularse porque cuando el número de nuevos casos alcanza su máximo basta multiplicar el número total de infectados en ese punto por el número e: K = Pe. El segundo dato necesario es la constante de crecimiento, que es la que determina la velocidad de crecimiento en el eje de las ordenadas (Y), o lo que es lo mismo la inclinación de la curva. Este valor se puede hallar mediante ajuste a los datos.

Veamos un ejemplo. Tomemos los datos de muertes por coronavirus COVID19 en China, que son más homogéneos que los de casos por los cambios que hubo en los criterios de diagnóstico, de la página de Worldometer de China. El análisis de las nuevas muertes cada día muestra un perfil un tanto irregular, pero se puede decir que el máximo de nuevas muertes se alcanzó el 11 de febrero con 146 muertos. Aunque hay dos días que tuvieron más muertos (6 y 22 de febrero), el perfil muestra claramente que se trataron de desviaciones puntuales, no de la tendencia principal, con la curva comenzando el 22 de enero con 17 muertos. El valor de K se puede estimar a partir del total de muertos el 11 de febrero, 1.259 multiplicándolo por el número e (2,718) lo que da una K de 3.422. El valor de c se ajusta para que la curva de la función coincida con la de los datos.

Tomando un valor de K de 3450 y un valor de c de 0,088 la función de Gompertz en Excel toma la forma:
=3450*EXP((-LN(3450/17))*EXP((-0.088)*B3))
Donde la columna B tiene el número de días desde el comienzo con B3=1 correspondiendo al 23 de enero partiendo de un valor inicial P0=17 el día anterior.

La representación de la función comparada con los datos reales es:

Fig. 3. Muertes en China ajustadas a la función de Gompertz.

Es importante destacar que las medidas que se toman para frenar al coronavirus afectan a los valores de K y de c, y por lo tanto a la curva final de Gompertz a la que se ajusta la epidemia. En el caso de las muertes en China, las medidas tomadas redujeron el valor de K para las muertes al entorno de las 3.500, y redujeron el valor de c al disminuir la velocidad de propagación.

3. Las matemáticas de la epidemia en España

La gente se pregunta cuanto va a durar la necesidad de mantener las actuales medidas (o incluso medidas más estrictas), hasta que remita la epidemia. Es algo a lo que todavía no se puede responder. Estimar la K, el número de casos que va a haber, sin haber llegado al máximo de los nuevos casos está lleno de incertidumbre. No ayuda que desde el 11 de marzo haya cambiado el criterio para hacer los tests y ahora ya no se hagan a quienes presentan síntomas leves. Según lo observado en China, el pico de nuevas muertes tiene lugar unos 12-13 días después del pico de nuevos casos, y sería deseable no tener que esperar tanto.

Se puede hacer un ajuste de la función de Gompertz al número de casos de coronavirus en España, pero está sujeto a un error muy grande, porque hay un gran número de combinaciones de K y c que en estos momentos pueden dar un ajuste razonablemente bueno. Sin embargo sirve para hacernos una idea de las cifras que podemos manejar.

Por ejemplo, utilizando los datos de casos detectados en España hasta ayer 15 de marzo, podemos estimar K en 200.000 casos y c en 0,06 lo que produce un ajuste razonablemente bueno. Bajo este supuesto los casos seguirían aumentando hasta llegar a los 200.000, con una cifra de muertos de en torno a 4.000-5.000. El número de casos nuevos alcanzaría su máximo el 4 de abril, y el número de nuevos muertos en torno al 16-17 de abril. Para finales de junio habría menos de 100 nuevos casos diarios. Podemos estimar que en torno a 1-4 millones de personas habrían pasado la enfermedad, por lo que más del 90% seguiría siendo susceptible. Llegados a este punto supongo que el gobierno relajaría las medidas y pasaría a hacer un control mucho más agresivo sobre los focos y nuevos casos, porque es lo que yo haría.

Fig.4. Posible ajuste de los casos de coronavirus en España a una entre muchas funciones de Gompertz, que en este caso presupone una incidencia máxima K de 200.000 casos y una constante de crecimiento c de 0,06. Es altamente improbable que valores estimados tan pronto en la epidemia sean correctos, pero sirven para hacerse una idea de la progresión de la epidemia. Estos supuestos son los mismos que los de la figura 2.

Este escenario no constituye una predicción, ni tan siquiera una proyección. Los datos son insuficientes para tener la más mínima fiabilidad, pero cuando se aproxime el pico de nuevos casos, y sobre todo cuando lo confirme el pico de nuevas muertes tendremos una idea razonable de la evolución del coronavirus en España. Este artículo no trata de predecir el futuro, sino de mostrar como funciona una epidemia, algo que los responsables de nuestra seguridad no parecen haber entendido con la necesaria prontitud, y trata de dar una idea de los tiempos que se manejan. Por ello cuando el gobierno ha dicho hoy que será necesario prolongar el estado de alarma más allá de los 15 días establecidos por la ley es porque ya sabe que incluso aunque todo vaya bien y el pico de nuevos casos tuviera lugar a principios de abril, esto tiene cuerda al menos hasta junio.

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  1. #20
    17/03/20 18:02

    Los acontecimientos van muy deprisa, si Sánchez consigue llevar a cabo lo que acaba de anunciar, de inyectar 2oo.ooo millones de euros en la economía, sin siquiera saber quién lo va a pagar, y si Europa se lo consiente, ya va a importar poco los muertos que va a provocar este virus al lado de la miseria y muerte que va a provocar.
    El Quantitative Easing para financiar estas medidas será descomunal. Eramos pocos y parió la abuela. Explotará por algún sitio. El sistema financiero está moribundo. Recordemos: LA PRODUCCIÓN SE PAGA CON PRODUCCIÓN.
    Sin embargo el/los gobiernos, a través del QE, proporcionarán poder de compra a millones de personas que han dejado de producir y que tienen que sobrevivir demandando productos de primera necesidad (alimentos, luz, gas, agua, vivienda, etc)solo con la nueva liquidez adicional que los gobiernos inyecten en los mercados.
    Van a repartir muchos papelitos cada vez con menor valor, dado que neveras, tomates, coches, etc, van a ser escasos, se va a dejar de intercambiar productos, y de producirlos.
    La única forma de contrarrestar esta bomba de relojería es a través de una reducción brutal de impuestos (y máxima flexibilización laboral). Cosa muy improbable, dada la putrefacta socialdemocracia europea. Si esta paralización económica se prolongara y los gobiernos continúan inyectando liquidez, la inflación de precios de bienes de primera necesidad y de materias primas puede ser de órdago. El sistema monetario puede irse al carajo.
    De ahí al terror hay muy poco recorrido.

  2. en respuesta a Knownuthing
    -
    #19
    17/03/20 17:35

    Gracias, entendido

  3. en respuesta a Karlo 1
    -
    Top 100
    #18
    17/03/20 14:24

    Eso no lo pueden decir, pues hasta la semana pasada era peor la gripe y echaban la bronca a quien osaba llevar mascarilla...

  4. en respuesta a Knownuthing
    -
    #17
    17/03/20 13:36

    Como evolucionarían los casos sin medidas es lo que tendrían que contar para ayudar en cómo llevar el confinamiento a la gente, pues es una medida muy dura y con muchas consecuencias. En cambio, nos quieren animar diciendo que la medida será por diez o doce días más, aunque según vaya la cosa se podrá alargar. Y se dice que en los sitios que hay más mortalidad y casos graves es porque ha habido más afectación a mayores. Por lo que sé este virus no es muy agresivo de por sí pero contra más carga viral adquiere puede empezar a dar problemas importantes a los contagiados. Puede ser que en aquellos lugares donde los contagios estaban más propagados la carga viral sea mucho mayor que en otros sitios y eso causa más casos graves.

  5. en respuesta a Pelayoderrotoalkamao
    -
    Top 100
    #16
    17/03/20 11:42

    Pelayo…

    En todo momento una población que no ha alcanzado su asíntota está creciendo de acuerdo a la función de Gompertz, pero las constantes pueden no serlo a lo largo del tiempo. Sin ningún tipo de medidas el coronavirus probablemente infectara al 70% de la población en una primera pasada. En los primeros casos crece con esa K (y una cierta c), luego se toman medidas y eso hace que bajen tanto la K como la c, y el virus sigue creciendo, luego se toman medidas más drásticas y vuelve a bajar la K y la c. Pero puesto que todas las medidas que se toman se hacen antes de que la P llegue a la K/e, es decir al máximo de nuevos casos, la curva final sigue pareciéndose bastante a la de la función de Gompertz calculada para la última K, que es la más baja.

    La K de 200.000 la he elegido yo porque es un número razonable que da un ajuste razonable a los datos, pero si no se fuera a tomar ninguna medida la K que yo elegiría sería el 10% (casos serios) del 70% de la población, o sea tres millones y cuarto. Esa es una cifra que la gente no percibe, esta epidemia tiene la capacidad de poner seriamente enfermos a tres millones y cuarto de personas, de las cuales más de un millón podrían necesitar hospitalización. A eso nos enfrentamos.

    Si se toman las medidas adecuadas los casos no deberían llegar a los 200.000, China ha tenido muchos menos.

  6. en respuesta a Antare
    -
    Top 100
    #15
    17/03/20 09:52

    Es razonable lo que dices, la economía efectivamente no son solo números de las cotizaciones de bolsa. La pobreza también mata, como vimos en el colapso de la Unión Soviética.

    Sin embargo aquí estamos eligiendo entre susto y muerte. Si el bueno de Know lo vio venir hace semanas (me uno a los agradecimientos ;)), está claro que hubo expertos que también lo hicieron. Hemos tenido un trimestre para prepararnos. No sé cuánto se tarda en fabricar una mascarilla o un guante o un test o gel desinfectante, ni cómo de complejo es aumentar la producción de las fábricas que hacen estos productos, pero hostias, teníamos tres meses. Con el dinero que hiciera falta. Aparte de las obviedades como parar los viajes desde y hacia las zonas afectadas, etc.

    Pero no se hizo. No sé si por estupidez del gobierno, por egoísmo o por alguna razón oculta que se nos escapa. O todo a la vez.

    Por lo que ahora toca elegir el mal menor. Si dejas que siga el crecimiento exponencial, tienes miles de muertes, el sistema sanitaria colapsado, y la parálisis la tienes igual, por la propia iniciativa de la gente:

    Mercedes en Vitoria parará la producción por el estado de ...www.antena3.com › Antena 3 Noticias › Economía
    hace 23 horas - Los trabajadores de Mercedes exigen que se cerrara la fábrica de Vitoria como ya ha hecho Michelin, que también se encuentra en la ...

    Mejor todos coordinados que no cada uno a su bola.

  7. #14
    17/03/20 08:50

    Know, entiendo que la curva de China la has calculado en función del número de muertes pero la de España en función del número de casos, que es bastante menos exacto. Supongo que cuando haya datos para hacer una previsión más fiables nos actualizarás, gracias de antemano.
    Por otra parte, sería interesante comparar la progresión de casos graves que necesiten cama de hospital y críticos que necesiten UCi con el pronóstico según el modelo de Gompertz.

  8. en respuesta a Strahler
    -
    Top 100
    #13
    17/03/20 01:19

    Strahler,

    Para cada combinación de valor de K y de c en la función te sale una curva. En algunas combinaciones la curva es similar a la curva que están formando los datos. Se puede hacer un mejor ajuste (best fit) para obtener la curva que más se acerca, pero a estas alturas (tan pronto) no vale la pena. La curva obtenida con un K de 200.000 y una c de 0,06 tiene un ajuste razonable, pero la curva final puede presentar valores alejados de esos, particularmente si las medidas de contención tienen un efecto grande, en cuyo caso K será menor.

    Si no se tomara ninguna medida K tendría un valor de millones.

    Puesto que K se toma de los casos detectados por test, y solo se realizan tests a los casos serios con sospecha de coronavirus, el número real de infectados contando a todos los niños y a los adultos que no desarrollan síntomas o desarrollan síntomas leves o moderados y no son testados ha de ser necesariamente entre 5 y 20 veces mayor. Yo ya te digo que muy malo me tengo que poner para acudir al sistema de salud y que me hagan el test. Si lo pillo y lo puedo pasar en casa, aunque sea como una gripe superfuerte como el caso que conté del galés en Wuhan en el hilo de seguimiento, yo no voy por un hospital. Salvo que se necesite hospitalización lo mejor es dejar los hospitales para los que realmente lo necesitan para sobrevivir.

  9. #12
    17/03/20 01:13

    Petición de más información/clarificación.
    El modelo ese supongo que se basa en que no cambian las condiciones y que todos los individuos son isotropicos (no hay poblaciones de riesgo). O tal vez la ley de los grandes numeros aplana las anisotropias...
    En todo caso, los ajustes se corresponderian a las condiciones de no aislamiento actuales... y en tal caso, no comprendo como un virus agresivo y altamente contagioso se podria parar en el 10% de la poblacion y no extenderse en nuestro caso hasta el 90% (o el 60% del que habla Merkel o el y tantos de Boris).
    Por otra parte, si andamos en letalidades del 3.6% (ahora en España) o del 7.7% (ahora en Italia), con 200000 infectados habría de 8 a 16 mil fallecidos, y no solo 4 a 5 mil...
    Evidentemente la cuasicuarentena, cierre de las fronteras, etc, mucho ayuda

  10. en respuesta a Antare
    -
    Top 100
    #11
    17/03/20 01:02

    Esta duda te la tendría que resolver el gobierno, que no suelta prenda de cuales son sus planes si es que los tiene. Yo solo te puedo decir lo que yo hubiera hecho o lo que haría a partir de la situación que tenemos, pero eso es poco útil.

    Pienso que el gobierno no tiene claras las cosas y va tomando decisiones sobre la marcha con la esperanza de que la situación mejore por sí misma, de la misma manera que esperaba que la epidemia no estallara de la forma que lo ha hecho sin hacer nada por evitarlo.

    La situación se ha vuelto complicada, como lo es la del alumno que sin haber dado golpe en todo el año se enfrenta a todo el curso en el mes de junio. Con un 18% de mayores de 65 años si el gobierno no toma ya medidas drásticas cuando los muertos se aproximan al centenar diario y con el potencial de crecer a muchos miles diarios, se puede dar por finiquitado. A lo que hay que juntar el descrédito internacional por ser el país que no se enfrentó al coronavirus. Esa opción les viene descartada.

    Pero las mismas medidas drásticas que se han visto obligados a tomar tarde y mal van a llevar a una depresión profunda a la economía, por lo que en poco tiempo se van a enfrentar al clamor popular para que se levanten, porque la gente tiene que ganarse el pan.

    Al final volvemos a la dicotomía que yo planteaba al principio, antes de que nos estallase la pandemia. El gobierno podía haber decidido salvar a la gente con medidas de prevención costosas que mantuvieran el virus fuera o muy controlado, o podía haber decidido salvar la economía no tomando medidas que la perjudicaran y asumiendo que se muriera el que se tuviera que morir. Las medidas intermedias son mucho peores, porque ni salvas a la gente ni salvas a la economía.

    No sé decirte bien lo que va a pasar porque no tengo capacidad de predecir lo que hará el gobierno, sí lo que hará el virus, que es perfectamente predecible. Supongo que seguirán haciendo mal las cosas porque nada bueno espero de este gobierno. Y creo que eso significa a que en cuanto mejoren las cifras aflojarán parcialmente las medidas y seguiremos bailando con el virus.

  11. #10
    16/03/20 23:48

    Hola Know...

    ¿Puedes explicar de nuevo, pro favor, por qué elegiste 200.000 cono valor de K, y cómo es que siendo K 200.000 el número final de infectados puede estar entre uno y cuatro millones?

    Gracias

  12. #9
    16/03/20 22:58

    Yo es que esto de la cuarentena no lo acabo de ver. Le doy vueltas y es que no lo entiendo. ¿Vamos a estar encerrados hasta junio en casa? Y aun en el supuesto de que en verano, por el calor, esto se controle ¿que pasara en otoño? ¿otra cuarentena de 3 meses? A mi la opcion que me hubiese parecido mas logica es proteger a todos los mayores de 60 años y a la gente susceptible. A esa gente aislarla de todos los demas, junto con cuidadores si hiciera falta. Mucha gente mayor en este pais tiene segundas residencias o vive solo. En el caso de vivir con gente joven , buscarle un sitio adecuado o que todos hagan la cuarentena. Y el resto a hacer vida normal.
    Cuando sale Iniesta y Messi a decir que los mas importante es la salud. Asi si matices, estoy de acuerdo. Y no quiero que se me malinterprete, en este ejemplo, estoy seguro que Iniesta y Messi son buenas personas y que estan preocupados y lo dicen de corazon. Pero pasar la cuarentena en una casoplon con 200 millones en el banco es una cosa. Que va a pasar si la gente esta encerrada meses, viendo como sus cuentas del banco disminuyen o directametne no pueden pagar las deudas. Un pequeño empresario que vea semana a semana como todo el esfuerzo de su vida se esfuma. O como un empleado ve que se va a quedar sin trabajo y ya no tiene dinero. Ahora estamos bien, viendo series , leyendo y descansando. Que pasara dentro de un mes? O dos ? o tres? Es que la economia no son solo numeros. Es bienestar o sufrimiento. Desde mi punto de vista esta estrategia solo va a salir bien si viene un antivirtal o una vacuna rapido, en muy pocos meses. Si no es asi, y ojala me equivoque, esta estrategia es suicida

  13. en respuesta a Fleischman
    -
    #8
    16/03/20 19:50

    ... hombre, lo del sudor lo lleva incluído 😎

  14. en respuesta a Camilort
    -
    Top 100
    #7
    16/03/20 18:50

    Si preguntas a cinco científicos su opinión sobre la explicación de una serie de datos, lo más probable es que obtengas seis respuestas distintas. Los gobiernos se quedan con los asesores que les dicen lo que quieren oir, y hay científicos que hacen carrera diciendo lo que se espera de ellos. El gobierno no se puede escudar en haber hecho caso a los expertos. Era su responsabilidad tener los expertos adecuados. En la película Guerra Mundial Z lo explican con la regla del décimo hombre:

    Warmbrunn: "El décimo hombre". Si nueve de nosotros con la misma información llegamos a la misma conclusión, es el deber del décimo hombre estar en desacuerdo. No importa cuán improbable pueda parecer, el décimo hombre tiene que comenzar a pensar con la suposición de que los otros nueve estaban equivocados. Lane: ¿Y tú eras ese décimo hombre? Warmbrunn: Precisamente. Como todos asumían que el hablar sobre zombies era una tapadera para otra cosa, comencé mi investigación con la suposición de que cuando decían zombies, se referían a zombies.
  15. #6
    16/03/20 18:42

    Y gracias por (otra vez) un magnífico artículo. Lo primero que miro en el correo es si hay una nueva comunicación tuya.

  16. #5
    16/03/20 18:41

    Me pregunto si, dada la tardanza en aplicar medidas de aislamiento y controles a los que venían de zonas mas afectadas, este aislamiento total y forzoso, aparte de disparar el pánico y la sensación de que algo terrible se acerca día a día, va a servir para algo que no sea arruinar absolutamente a un país que ya se encontraba en muy mala situación y en el que ya se estaban tomando medidas económicas equivocadas. Aunque todo salga mal, en algún momento habremos superado esta situación, y el virus irá perdiendo capacidad para matar, pero... en ese caso,¿cuanto tardará en volver a inventarse la rueda?

  17. #4
    16/03/20 18:39

    Excelente análisis.
    No sería conveniente centrar los estudios en estos cálculos comparados con la previsión del destrozo económico, la miseria y pobreza, por cuanto tiempo, que estas medidas vaya a generar. Ahí estan para comparar los casos de UK o Suiza.
    También estudios comparados con los casos de éxito, Singapur 0 muertos, Honkong, o Corea del Sur y su app para monitorización y geolocalización de los infectados.

  18. en respuesta a Camilort
    -
    Top 100
    #3
    16/03/20 18:35

    La frase original creo que iba de "sangre, esfuerzo, lágrimas y sudor". Pero aquí lo del esfuerzo mejor nos lo saltamos... ;)

  19. #2
    16/03/20 17:58

    ¿Tanto le cuesta en el gobierno decir aquello de sangre, sudor y lágrimas? Tener certeza de cuando y cuanto se va a sufrir provoca menos estrés que no saberlo. Know, ya podrían nombrarte asesor de este gobierno, aunque me temo que el problema no son los asesores si no lo que hacen con la información aquellos que tienen el deber de protegernos.
    Gracias por el análisis, está en consonancia con mi gut feeling (a ojo de buen cubero) de que hacen falta 3 o 4 meses para empezar a volver a la normalidad. Eres un faro en medio del proceloso mar que nos rodea, no te apagues, pfv.

  20. Top 100
    #1
    16/03/20 17:31

    "Llegados a este punto supongo que el gobierno relajaría las medidas y pasaría a hacer un control mucho más agresivo sobre los focos y nuevos casos, porque es lo que yo haría."

    No sé yo si es mucho suponer. Porque convendrás conmigo en que hasta ahora el gobierno no ha hecho lo que tú harías... ;)

    (Y así nos ha ido, claro.)