Simulaciones, grandes numeros y riesgo
Antes que el demagogo profesor de Columbia, mucho antes, soltara aquello, de que para operar como inversor serio, habia que evitar parecerse a jugadores de casino. Antes de que se volviera un consejo sabio esa memez, que distinguia los buenos de los malos. Unos 300 años antes , alguien se planteó un problema teórico concreto de jugador de casino , en base a tirar datos . Se llamaba Pascal y le acompaño en esa tarea otro personaje llamado Ferrat . De este problema se llego al concepto de valor esperado y a la teoria de conjuntos y con ellos al de probabilidad.
Asi que ese concepto que usamos todos los dias en nuestra cabeza para casi todo, el de probabilidad, se desarrolla en base al juego de casinos del siglo XVII, y no es hasta el XVIIII cuando Pascal y Fermat desarrollan el concepto de valor esperado. Eso que nuestra jugadora de poker no para de enunciar y que Graham no sabe ni de donde viene. Un valor esperado en un entorno aleatorio, sujeto en gran medida al azar. Eso es entrar en la sociedad moderna. Eso es la teoria de conjuntos, donde se enumaran todas las posibilidades de ganancias y perdidas posible ante una hipótesis de partida.
Pero es mas que eso. Cambia la forma de ver, de pensar, para quien lo utiliza. Es un paso revolucionario. Y lo es porque crea por primera vez la posible existencia de mundos paralelos a la realidad concreta. Crea mundos posibles, imaginados, donde cualquiera de ellos como en un cuento infantil de la epoca, puede llegar a ser real. A estos pensadores se les agrega luego Bernoulli, para establecer una serie de reglas de esta teoria de conjuntos posibles y no es hasta el siglo XIX, donde por fin se establecen las condiciones especificas para su aplicabilidad en el mundo real.
No se buscaba hacer predicciones, no era esa la finalidad. Y es en esos primeros años, donde se plantea por primera vez a traves de Bernoulli, que el uso de la teoria del razonamiento matematico en la teoria de conjuntos puede conducir a conclusiones absurdas, que es de lo va hoy este diario . El dilema de Bernoulli de 1713, conocido tambien como la paradoja de San Petesburgo es la siguiente.
Imaginaros que estais ante alguien o ante un juego, que os plantea lo siguiente. Vamos a tirar una moneda al aire, y
1º. Si sale cara te doy un euro y si sale cruz el juego termina tu opcion de jugar
2º. si ha salida cara y vuelvo a tirar la moneda si sale cara te doy 2 euros y si sale cruz el juego termina.
3º. Si ha vuelto a salir cara, vuelvo a tirar la moneda al aire y si sale cara te doy 4 euros y si sale cruz el juego termina
Y asi sucesivamente. Las veces que quieras. Se ve que los beneficios van a crecer exponencialmente mientras dure el juego, o sea mientras no salga cruz. La pregunta que teneis que resolver, es la siguiente. Cuando me tengo que salir de ese juego ? Cuando renunciar a seguir jugando por mas dinero mientras este crece exponencialmente ?
No es facil la respuesta, no fue hasta el sobrino de Bernoulli, unos 60 años despues quien dio con una respuesta acertada, aunque no la única.
Como se ve es un juego de azar, con un valor esperado infinito. Esto último cambia las cosas. No esta limitado. Ademas hay algo raro ahí, aunque la propuesta matematica este bien planteada y parezca lógica. Ahí algo ahí que choca con la intuicion y el sentido comun.
Esta pregunta es uno de los temas de Erkhardt claves para para asignar el tamaño de la apuesta en entornos aleatorios. Erchard , transforma este dilema de Bernoulli, al mundo americano de las apuestas,introduciendo mas claramente el riesgo que lleva toda apuesta , del siguiente modo.
"Si encontrases un billonario, cual sería la cantidad que podria apostar a cara y cruz tirando una moneda al aire, contra el , para que se jugará todo su patrimonio y riqueza contra esa supuesta cantidad elegida. Cual es la cantidad que le compensaria por esa apuesta de si pierde , perderlo todo ?
La solucion de Erckhardt, es que esa apuesta esta claro que es una estupidez. Hay otras cosas mas valiosas ( Erchardt sugiere que unos cientos años mas de vida por ejemplo) que pudieran ser mas valiosos que apostar toda tu riqueza. Ningun billonario haria esto. Ahí esta la solucion de la paradoja. Pero entramos en un mundo complejo.
La solucion esta en que el truco "racional" donde se producen los eventos tiene que estar en equilibrio, mientras dure el tiempo. Algo que tiene que ser chequeado. Esos es lo que se dedicaban a pensar Pascal y Ferrat. Ahí habia un problema. Lo primero, el numero, la cantidad real de la apuesta tendria que acoplarse a la posibilidad de tirar la moneda. Si no, no hay correlacion entre los mundos posibles y el real. El cuento infantil no puede nunca convertirse en realidad.Las probabilidades halladas van a fallar si no se cumplen una serie de condiciones como esa que hemos mencionado a chequear. De eso va la matemática de probabilidades. La verdad de esa utilidad matemática estará siempre restringida al contexto de los axiomas y asunciones. Y Erckahrdt tiene sus dudas que estos sean rigurosos. Su aplicabilidad reflejara en todo caso el grado donde estas asunciones son las condiciones reales en una situacion dada. Erckhardt es contundente al respecto.
" Todos los sistemas que conozco, a un nivel suficintemente grande entrarán ocasionalmente en terrenos de riesgo. Es mejor operar hasta un nivel razonable y cuando te encuentres con demasiada exposición, ignoras tu sistema de tamaño de apuesta y reduces posicion.
Un problema de muchas gestiones monetarias, es que estan estrechamentamente ligadas a la asuncion de alguna función exponencial. Tiene un problema que es infinito, no tiene limites. Eventualmente llegará un momento que puedes comprarte el mundo.
Nosotros no usamos funciones infinitas, solo funciones limitadas. También tiene que tener unas características técnicas de fracciones de inversión óptimas siendo estas absolutamente independientes del nivel del dinero. No se deberia aumentar la apuesta mas del 2% de lo que se arriega en un trade. En relacion a esto si tu pasas a gráficos los beneficios obtenidos frente al tamaño de la apuesta, sale una silueta como de perfil de cachalote. La parte izquierda del gráfico, la de la cola , que coincide con apuestas pequeñas es casi lineal, los aumentos en los tamaños de las apuestas coinciden con los aumentos de beneficios. Pero ha medida que vas hacia la cabeza del cachalote en tamaño de apuesta, la silueta cae . Esto es debido a las perdidas puntuales máximas que no te permiten recuperarte. El lugar óptimo es estar en el área donde no empieza la cabeza del cachalote. El tamaño de la apuesta es algo que no se debe optimizar hasta el infinito. Hay que encontrar un punto optimo antes del precipicio, para operar mas reducido, que no nos permita llegar a ese " óptimo peligroso"
La solucion de Daniel Bernoulli sobrino del otro Bernoulli parte de la idea , de que el dinero no es el mismo para el matemático que hace la pregunta que para el común de los mortales. Estos ultimos no lo valoran en función de la cantidad del mismo sino en proporcion a su utilidad.
" Cualquier incremento de riqueza, siempre resultará en un incremento de utilidad que es inversamente proporcional a los bienes ya poseidos."
El valor de 200 euros es muchisimo para quien no tiene nada, pero no es nada para quien tiene varios millones de euros- Para Bernoulli sobrino, y esto se vincula mejor con la version de la paradoja en Erckhardt , la habilidad de soportar riesgo, no depende solo del riesgo, sino tambien de los tomadores de riesgo. No todos los hombres pueden usar la misma regla para evaluar el riesgo. Asi que esta pregunta debe ser planteada de otra forma, o corregida por otro factor. El valor esperado, en este caso la ganancia buscada, para parar de jugar,o no seguir aumentando matemáticamente el tamaño de la apuesta, si nos dejaran cambiar las reglas, es la utilidad del valor del dinero.
Si se coloca en lugar de la cantidad de posible cantidad de dinero para parar de jugar, la utilidad del mismo, la cosa cambia. Bernoulli Incorpora una fiuncion correctora para responder satisfactoriamente a la conjetura. Dilema mas potente en el ejemplo de Erckhardt, sdonde no solo se puede ganar sino que tambien se puede perder.
A medida que la apuesta vaya dando mas beneficios, la utilidad de lo ganado perderá valor y mas si hay que arriesgar algo por esa ganancia. Lo buscado a medida que crece y pasa el tiempo pasa a formar una silueta concava, en la relacion ganancia tamaño de apuesta. La utilidad perdedora de valor del dinero hace esto. Daniel Bernoulli da una formula para hallar esto, pero mejor ver los resultados en un grafico.
En el de la izquierda se ve como a medida que se juega, hay una primera fase donde se sube en vertical según se va jugando para despues a medida que se juega caer inexorablemente. Recordemos que con cada tirada doblamos el tamaño de la apuesta. Asi es claro saber cuando debemos parar de jugar, incluso objetivamente. No dependiendo de nuestro valor de la utilidad de un dinero determinado. En la otra grafica de la derecha se ve que pasa antes de empear caer, como primero la utilidad del dinero con cantidades pequeñas sube en vertical y uego va desacelerando. Es la silueta del cachalote de Erckhardt.
Erckhardt adquiere esta formula, de la utilidad de lo apostado según va creciendo exponencialmente para su gestión monetaria. Para limitar su tamaño de la apuesta. No dice como lo calcula, pero utiliza una funcion correctota de ese tipo a medida que le va dando su exponencial de tamaño de la apuesta. Cantidades cada vez mas grandes, si el sistema y para eso se diseñan los sistemas, gana en simulaciones mas veces que las que pierde.Y esta ganancias se incorporan inmediatamente al nuevo tamaño de apuesta. Estariamos ante el mismo error parecido de funciones infinitas, en un momento dado tambien aquí nos podriamos comprar el mundo, aunque ahora estaríamos limitados por la liquidez de la contrapartida del mercado. Pero hay mercados como el del forex con contrapartidas inmediatas sin perdidas significantes del spread entre la compra y la venta para hacer trading del orden de 5 millones de euros. Parece que Erckhardt, cuando nos avisa, no debe llegar a estos limites de liquidez y establece otros límites previos atraves de funciones correctores del tamaño de la apuesta.
Esto es lo contrario del uso de la formula de Kelly de los quants. Los quants al eliminar la aleatoriedad no tienen miedo de este cambio de "escala" en el tamaño de la apuesta, siempre limitado a la liquidez del mercado. Me parece que esa es la razón, sus ganancias, como las del casino jugando al blackjack contando cartas, a la larga son siempre vencedoras con casi ninguna influencia de la aleatoriedad. Las que gana el casino también.
Que cantidades son para Erckhardt peligrosas ? En relación a que tipo de funcion negativa en aumento de la cantidad apostada se calculan ? No lo se, no lo dice tampoco. Pero vamos a intentar hacer una proximacion. Si tomamos el mercado forex, este tiene liquidez de contrapartida sin mucho spread del orden de 3 millones de euros de apuesta .Los tortugas debian estar operando , eso si en los años ochenta del orden de 20.000 a 40.000 euros por apuesta cada uno . A dia de hoy , como ha aumentado el volumen apostado y la liquidez podrian ser del orden de 160.000 a 320.000 euros por apuesta. En el mercado forex esto es la decima parte de la liquidez para un spread decente. Pero Erckhardt no opera intradiario, los tortugas estimo estarian de dos dias a dos meses en la posición. Pero operaban 21 tortugas y mecanicamente y tomados asi, no cuadran los numeros . A lo mejor la eleccion de veinte personas operando igual, divide el tamaño de la apuestay ahi no hay riesgo de apostar grande. o para beneficios mucho mayores se puede pagar otros spreads.. No da muchos detalles Erckhardt. Pero por ahí van los tiros.
Habría que estimar que su caja de donde sacar el 2% para apostar deberia estar hoy en torno a los 15 millones de euros por operador. Hoy en dia solo operan tres su fondo, y esta abierto a capital, siempre que aportes 10 millones de euros. Esta bien poner estos números para situarnos cuando este hombre habla de lo grande y lo pequeño. Lo dejo como dato.
Esta funciones de utilidad externa, que invento Bernoulli, y que adopta de alguna manera similar Erckhardt sirven para escoger preferencias de riesgo, pero no sirven para calcular y recomendar especificos niveles de riesgo y tamaño de las apuestas asociados a ellos. O yo no se como hacerlo. Erchardt siempre anda con este problema de la fiabilidad de los axiomas y asunciones, y se huele, como todos nosotros ahora, que no se puede comprar el mundo, aunque gane sistematicamente siempre en sus apuestas. Algo que ver con esto tiene el levantamiento de conceptos de trading de tendencias que emplea como los de "robustez" y "verdadero". Para el, hay que buscar lo verdadero en el trading, definido como aquello que en algun sistema particular permanece, independientemente de la dimension que se opere. Lo de la robustez lo dejamos para la campana acampanada.
