A mi me pasó igual, me vino la renovación, no me llamaron y la devolvieron. Fui, hablé con ellos y en tres días tenía mi tarjeta en la sucursal (en realidad mandaron una nueva más la que devolvieron).
Lo que saqué en conclusión es que antes de que te caduque debes ir a una sucursal del BBVA y pedir tu mismo la renovación. Ah, y puedes pedirla para que te la manden a cualquier sucursal, no tiene por qué ser la tuya.
La tarjeta ya no es obligatoria para entrar en BBVANet, ahora lo puedes configurar para entrar con tu NIF si así lo deseas. Llama al teléfono de atención al cliente y diles lo que te pasa a ver si ellos te pueden cambiar el método de acceso.
En el poco probable caso de que te obliguen a tener una tarjeta contratada, pregúntales si vale con una tarjeta virtual, que no te cobran dinero si haces al menos una transacción al año (o algo así) y además te puede servir para cuando hagas compras por internet.
En caso de que te cobren por tener la libreta, date de alta una cuenta corriente por internet (se llama cuenta online) que no tiene comisiones de mantenimiento siempre que haya al menos un movimiento al año. Luego vas al banco, pasas el saldo de una cuenta a otra y cierras la libreta. Te quedarás sin soporte físico y tendrás que ver todos los movimientos por internet o esperar a los extractos por correo pero no te cobrarán.
A mi me pasó igual con mi tarjeta Diez de BBVA. Dejó de funcionar (y eso que caducaba al mes siguiente) me mandaron la renovación al banco y no me avisaron. Les pregunté y me dijeron que ni la sucursal ni el banco avisan nunca...
Así que lo que hay que hacer es que el mes de antes de que te caduque, hay que pasarse por la sucursal y pedir la renovación (nótese el tono de resignación).
Sobre el tema del seguro, supongo que los comerciales irán a comisión y cuantos más seguros hagan, más comisión se llevarán. A mi me suena a seguro de protección de pagos y que está asociado a la tarjeta de crédito. Seguro por robo no creo que sea porque las tarjetas ya incluyen un seguro contra atracos en cajero y uso fraudulento (en muchos casos con franquicia de 150€) así que no creo que se trate de eso. En caso de que así fuese, a mí no me daría ninguna confianza operar con una tarjeta en la que no te cubran un posible robo en cajero o uso fraudulento, a menos que contratases ese seguro...
Yo no he hecho ninguna consulta por la web nueva, pero por la antigua hice varias y creo que excepto una que me contestaron a los dos meses de haberla formulado, nunca me han contestado.
Está claro que para preguntas sin importancia es mejor llamar por teléfono y para cosas más serias es mejor ir directamente a la sucursal.
En fin, ya con lo que me cuentas, veo que no han mejorado... Una pena.
Creo que formulaste la pregunta desde la web pero fuera de tu área de cliente, es decir, sin meter tu usuario y contraseña. Por curiosidad, estaría bien que volvieses a hacer la pregunta desde dentro de la operativa de clientes, a ver qué te contestan. Sólo tienes que hacer un copy-paste...
Creo, aunque no estoy seguro, que las oficinas ING no dejan operar con efectivo. A menos eso me dijeron el año pasado a mí en una. Las que sí operan con efectivo son las oficinas "Naranja" como la de las Rozas o la calle Costa Rica en Madrid.