Gestión cuantitativa de carteras: De la teoría a la práctica
¿Por qué las carteras de baja volatilidad obtienen mejor rentabilidad-riesgo que el mercado?

Las carteras de mínima varianza

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Publicado por Jnogales el 30 de junio de 2011

En esta entrada trataré de introduciros a un tipo de carteras con gran auge en la actualidad: las carteras de mínima varianza. Como se puede ver en el siguiente blog, http://estimationrisk.blogspot.com, estas carteras presentan unos niveles bajos de volatilidad a lo largo del tiempo y, más aún, obtienen unos niveles de rentabilidad superiores a los de los índices asociados (por ejemplo, el Ibex, el S&P 500, etc).

¿Pero cómo una cartera con bajo riesgo puede conseguir una rentabilidad más alta de lo esperado?

La razón es que los mercados financieros no son perfectamente eficientes todo el tiempo. Esto implica que, a nivel sobre todo de acciones, el riesgo y la rentabilidad no están muy correlacionados. En otras palabras, existen muchas empresas que no presentan una rentabilidad acorde a su nivel de riesgo.

La conclusión es que podemos aprovecharnos de esta anomalía tratando de conseguir una cartera con la menor volatilidad posible. Y como he comentado, este tipo de carteras consiguen mejores rentabilidades (ajustadas por riesgo) que los índices asociados.

Por esta razón, la popularidad de estas carteras ha crecido en los últimos tiempos. Por ejemplo, muchas compañías de inversión (p.e. Acadian Asset Management, Martingale Asset Management, o Robeco) ofrecen fondos de inversión basados en estas carteras.

Además, los proveedores líderes en índices como MSCIy Standard & Poor’sofrecen varios índices de baja volatilidad como benchmarks para instituciones financieras. Finalmente, iSharesy Russellestán a punto de lanzar ETFs basados en carteras de baja o mínima varianza.

A continuación os mostraré el comportamiento de estas carteras cuando se implementan con las empresas del Ibex35. Pero antes os indicaré brevemente cómo se pueden construir estas carteras.

No voy a entrar en detalles matemáticos de implementación, pero si alguien está interesado en estos detalles, puede consultar la siguiente entrada: Some efficient low-volatility portfolios: the minimum-variance policy.

La idea básica en la puesta en marcha de las carteras de mínima varianza es centrarse en el riesgo (medido aquí como varianza) y olvidarse de la rentabilidad esperada. Ya he dicho antes que ambos conceptos no están correlacionados en la práctica…

Esto implica resolver un problema de optimización en el que el ingrediente básico es una matriz de varianzas y correlaciones. En el caso del Ibex35, tendríamos una matriz con 35 filas y 35 columnas. En la diagonal de esta matriz se encontrarían las varianzas (volatilidades al cuadrado) de cada empresa, y fuera de la diagonal se encontrarían las covarianzas entre cada par de empresas. En la siguiente entrada Teoría Moderna de Carteras: un poco de Matemáticas podéis ver cómo se pueden calcular estas cantidades.

Básicamente esta es la idea, pero para que funcione en la práctica es necesario utilizar técnicas avanzadas de Estadística para estimar convenientemente los elementos de esa matriz. Por ejemplo, en el caso del Ibex tendremos que estimar 35x35 = 1225 parámetros. Estos son muchos parámetros, pero es que en el caso del S&P 500 tendremos que estimar ¡250000 parámetros!

En el experimento que mostraré a continuación aparecen distintas carteras de mínima varianza en función de la técnica que se ha empleado para estimar la matriz de varianzas y correlaciones descrita anteriormente.

Por ejemplo, la cartera ‘Factor’ denota la cartera de mínima varianza estimada con un modelo factorial, concretamente el famoso modelo CAPM. La cartera ‘LW’ representa una estimación contraída propuesta por Ledoit y Wolf. Estas dos carteras permiten posiciones cortas. Las carteras ‘LongMinVar’ y ‘LongLW’ son las mismas pero solo permiten posiciones largas. Posteriormente aparecen 3 carteras que limitan el total de posiciones cortas. Por ejemplo, la cartera ‘110:10’ tiene un 110% invertido a largo y un 10% invertido a corto. Lo mismo para las carteras ‘120:20’ y ‘130:30’. La ventaja de estas carteras es que distribuyen libremente las posiciones cortas entre todos los activos. Finalmente, la cartera ‘Market index’ representa al índice Ibex35.

El experimento es el siguiente: cada 4 meses de los últimos años escojo las empresas del Ibex35 y construyo las carteras previamente mencionadas. Cada semana voy calculando la rentabilidad real de cada cartera descontando unos costes de transacción proporcionales de 40bps.

Los resultados son los siguientes: en el siguiente gráfico se muestra la evolución de 1 euro en los últimos 12 meses para cada cartera.

Se puede observar como todas las carteras de mínima varianza obtienen una rentabilidad superior al Ibex un año después.

Pero analicemos las rentabilidades en mayor detalle. La rentabilidad media del Ibex35 en el último año es menor del 1%. En cambio, todas las carteras de mínima varianza han obtenido unas rentabilidades medias entre el 10% y el 20%. ¿Implicarán estas rentabilidades un mayor riesgo?

La respuesta es no: El Ibex35 tiene una volatilidad del 22% en el último año. La mayor volatilidad de todas las carteras consideradas es del 14%. Más aún, el Valor en Riesgo (95%) del Ibex ha sido del 3.5% en el último año, versus un 3% en el caso de la cartera con peor Valor en Riesgo y un 2% en el caso de la mejor.

En términos de Sharpe ratio, todas las carteras consideradas tienen un valor alrededor de 1. En cambio, el Sharpe ratio del Ibex35 en el último año no llega a 0.04.

De estos resultados se deduce que las carteras de mínima varianza dominan al mercado en términos de rentabilidades ajustadas por riesgo.

Veamos en el siguiente gráfico el significado de la anterior conclusión. Ahí se muestra el espacio riesgo-rentabilidad para todas las carteras consideradas en el último año.

Cada punto representa la rentabilidad media y la volatilidad de cada cartera obtenida en las últimas 52 semanas. Se puede observar cómo todas las carteras de mínima varianza tienen unos niveles de volatilidad similares e inferiores a los del Ibex. Además, todas tienen también unos niveles de rentabilidad superiores.

En otras palabras, todas las carteras de mínima varianza consideradas dominan al mercado (en términos de rentabilidad por unidad de riesgo). Al menos esto es así en el experimento que he realizado en el último año. Pero resulta que he repetido el mismo experimento usando datos de los últimos 5 años y la conclusión es la misma!

Espero que esta entrada os ayude a entender cómo es posible desarrollar carteras eficientes con mejor comportamiento riesgo-rentabilidad que el mercado. Estaré encantado en resolver cualquier duda que tengáis sobre el tema.

Etiquetas: Riesgo · incertidumbre · volatilidad · Rentabilidad · diversificar · ETF · carteras mínima varianza



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Comentarios
1 Gfierro
30 de junio de 2011 (23:01)

He leído el post: http://estimationrisk.blogspot.com/2011/04/some-efficient-low-volatility.html

y me ha quedado una duda. Soy estudiante de Economía en preparación de su tesis, así que aún no domino muchas cosas. Mi pregunta es acerca de los estimadores de contracción. ¿Qué otro estimador podríamos usar, ya que el único que conozco es el de Bayes?

Otra duda que hasta la fecha no me ha quedado clara después de varias clases. Qué diferencia hay entre las estimaciones de Ledoit-Wolf para la covarianza y la estimación que siempre utilizamos.

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2 Jnogales
Jnogales  en respuesta a  Gfierro
01 de julio de 2011 (08:29)

Hola Gfierro,

Gracias por el comentario. Los estimadores contraídos (shrinkage) en realidad son equivalentes a los estimadores bayesianos. La matriz a la que contraes en el fondo es la matriz "a priori" de los métodos bayesianos.

Te explico mejor qué es la estimación de Ledoit-Wolf. Imagina que A es la estimación clásica (la que utiliza casi todo el mundo) y B es una matriz target sin ruido (p.e. la matriz identidad). Entonces la estimación de LW es simplemente:
LW = alpha*A + (1-alpha)*B
siendo alpha un número entre 0 y 1.

Estas técnicas funcionan especialmente bien cuando las matrices son grandes, ya que en ese caso hay mucho ruido y si no hacemos algo todas nuestras estimaciones son "basura"...

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3 PNeoliberales
01 de julio de 2011 (11:39)

Las carteras de mínima varianza han derrotado al mercado en el pasado (rendimientos ajustados por riesgo). La razón no se conoce, al igual que no se conoce el por qué carteras con bajo ratio precio/valor en libros y baja capitalización ganan al mercado (aunque desde mi punto de vista tiene un poco más de sentido).

Se están poniendo de moda este tipo de carteras.... señal inequívoca de que dejarán de funcionar (alguien se acuerda de las carteras quant??)

Un saludo

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4 Gfierro
Gfierro  en respuesta a  PNeoliberales
01 de julio de 2011 (16:05)

Creo que es muy posible vuestro punto, tal y como dijo Paulos en uno de sus libros:

As with all such strategies, however, the increased
returns tended to shrink as more people adopted it.

Saludos

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5 Jnogales
Jnogales  en respuesta a  PNeoliberales
01 de julio de 2011 (18:16)

PNeoliberales,

Tienes razón en que no se sabe muy bien la causa de esta anomalía. Pero mientras exista conviene aprovecharse de ella…

Es verdad que como toda anomalía financiera, desaparecería si todo el mundo intentase aprovecharse de ella. Pero creo que sería de forma muy gradual. Por ejemplo, las anomalías que mencionas (“size” y “value”) son conocidas desde hace muchos años y a día de hoy se siguen manteniendo. Aunque ya más amortiguadas…

Saludos!

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6 Javi01
30 de julio de 2011 (11:35)

Excelente articulo. Yo tambien he experimentado en propias carnes la falta de proporcionalidad entre volatilidad y rentabilidad, la cual "a priori" pareceria bastante razonable, pero que no se da en la practica, y que efectivamente casi se encuentran en proporcinalidad inversa.

Pienso que, en parte, este fenomeno se explica por la extraordinaria virulencia de las caidas de las empresas, cuando éstas se preoducen. Generalemte son las caidas mas pronunciadas que las subidas (sobre todo en chicharros), esto conduce a una rentabilidad media negativa, y a la vez a una mayor volatilidad.

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8 Mariodi
19 de enero de 2012 (13:39)

Vamos a utilizar derivados para construir carteras de este tipo y forrarnos!! x"DD no he podido evitarlo.

Os recomiendo el blog de www.crossingwallstreet.com donde el autor lleva años ganando a los índices utilizando este tipo de estrategia junto con el de la equiponderación en valor.

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8 Ismael Vargas
26 de febrero de 2014 (15:16)

Me gusta este enfoque, sabes si con un Excel se puede modelizar un modelo CAPM combinando activos del S&P o del Ibex para formar una cartera?

Porque al ser tantas combinaciones posibles no sé si reventará por algún lado el Excel...

Saludos y gracias.

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9 Jnogales
Jnogales  en respuesta a  Ismael Vargas
26 de febrero de 2014 (19:21)

Gracias por el interés, Ismael,

Es sencillo modelar en excel un CAPM. Basta con hacer muchas regresiones simples (una por cada activo) entre las rentabilidades de los activos y el índice (p.e. el S&P 500). Si tienes un ordenador con memoria suficiente, no creo que excel reviente. Aunque lo ideal sería automatizarlo via Visual Basic.

Saludos.

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10 Ismael Vargas
Ismael Vargas  en respuesta a  Jnogales
26 de febrero de 2014 (19:40)

El problema es que no se usar Visual Basic de momento.
Es una lástima que dejases de escribir en este blog, porque es realmente interesante. Estoy procurando aprender e intentar utilizar métodos cuantitativos para la gestión de cartera y tu blog me ha gustado mucho.

Recibe un saludo.

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11 Jnogales
Jnogales  en respuesta a  Ismael Vargas
26 de febrero de 2014 (19:55)

Ismael,

Tienes razón, debería sacar más tiempo para escribir sobre estas cosas, pero el tiempo es limitado...

En todo caso, hemos desarrollado una herramienta automática con todas estas ideas. Puedes seguirlo aquí: http://lowvol.uc3m.es/
Además, te animo a participar en el próximo webinar de Rankia donde Alberto Martin contará las ideas básicas de estas técnicas cuantitativas:
http://www.rankia.com/cursos/84-lowvol-portfolios-herramienta-para-construir-carteras-baja-volatilidad

Espero que te guste.
Saludos!

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12 Ismael Vargas
Ismael Vargas  en respuesta a  Jnogales
26 de febrero de 2014 (19:59)

Muchas gracias, asistiré al Webinar sin duda. Además justamente es un tema que estoy tratando en la actualidad. Recibe un saludo!

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Jnogales

Jnogales

Profesor Titular de Estadística y Optimización en la Univ. Carlos III de Madrid. twitter: @fjnogales




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Tengo otro blog (en inglés) donde recomiendo semanalmente una cartera de inversión, tanto para el mercado español como para el estadounidense. La recomendación se deriva de una implementación de estrategias de baja volatilidad, basada en técnicas estadísticas y de optimización. Puedes ver los detalles en Portfolio Management under Estimation Risk


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