Quien paga las costas del Notario

buenos días, 

iba a llevarme la hipoteca del banco donde la hice a otro ya que me ofrecían mejores condiciones. 
Una vez firmados los documentos con el banco, comuniqué a mi entidad que me marchaba, ya que tenia que dar de baja varias cosas, y me han dicho que igual me igualan la oferta, por lo que de ser así, me quedaría en mi banco. 
La cuestión es que ya han elevado el expediente al colegio de notarios y tengo que cerrar una cita para esta semana para leer los documentos con el notario y que de fe que se donde me estoy metiendo. 
La cuestión es: 
Si ahora esta semana, antes de ir al notario por primera vez, decido que finalmente me quedo en el banco original, el banco al que me iba puede exigirme algún tipo de coste que le haya podido suponer el empezar los papeles con el notario o la gestoría?? Porque se supone que el coste es por su parte y yo sigo pudiendo desistir aun de llevarla a termino, no?
Muchas gracias