Re: DNI-e y TGSS
La manera en que cada web gestiona el DNI es diferente. En algunos casos la recogida de datos del certificado del DNI-e y su validación es realizada por el navegador. Otras webs instalan al usuario un cliente java que realiza estas funciones.
Esto y otros temas hacen que las webs sean más o menos "exigentes" con tu DNI-e. Puede pasar que una web, una vez que te valide, durante cierto tiempo te deje entrar más rápidamente sin realizar una validación completa, de manera que accedas aunque tu certificado tenga algún problema.
Como te han sugerido en un comentario anterior, lo primero sería comprobar en la página del DNI-e el estado de los certificados de tu DNI-e, especialmente el de autenticación que es el que validará la web de Cajamar.