quantNotes

Econofísica en Tres14

2009-07-10T13:11:00.000+02:00

Programa en Tres14 sobre Econofísica. Muchas cosas interesantes entre las que destaca la entrevista Josep Perelló, experto en Econofísica (cuidado con las "colas").

Inversión a largo plazo: considere seriamente tener en cuenta algo más que la rentabilidad y la volatilidad.

2009-06-30T21:37:00.005+02:00

Los inversores invierten su dinero en diferentes activos esperando un beneficio futuro. Más concretamente buscan que la rentabilidad de la inversión sea alta y la volatilidad baja. O lo que es lo mismo, se mueven en el mundo de la “distribución normal” (1) de forma que esperan que el primer momento de dicha distribución sea alto y el segundo momento sea bajo.

Pero considerar que los activos se distribuyen “normalmente” puede provocar algunos sustos. Y si además solo nos fijamos en los dos primeros momentos (media y varianza) los problemas están asegurados.

Tomar solo la varianza o desviación típica (volatilidad) como medida de riesgo supone reducir ostensiblemente la información, ya que, pasamos por alto la asimetría y el apuntamiento o aplastamiento de la distribución.

U(R) es la función de utilidad de un inversor (2) donde U denota utilidad y R la rentabilidad de su cartera. Dicho de otro modo U() es la “utilidad de lo que hay entre paréntesis” de tal manera que U() “transforma” los números que hay entre paréntesis (rendimientos) en otro número que cuantifica la utilidad de la inversión. Esta función es creciente, derivable, cóncava, etc.

Ahora aproximamos la función de utilidad de un inversor U(R) mediante el desarrollo en serie de Tailor entorno al punto “a”.

Hacemos el cambio de variable:

R es la rentabilidad media de la cartera (un paseo aleatorio). Con lo que tenemos que:

y tomando esperanzas a ambos lados de la igualdad, se llega a :

Que se puede rescribir como:

Donde:

Ε[R(0)] = Esperanza Matemática.

σ^2 = Varianza de los rendimientos.

σ^3 = Coeficiente de Asimetría.

σ^4 = Coeficiente de Curtosis.

Por lo tanto, la utilidad esperada de un inversor o en términos simples " el posible beneficio" de una cierta inversión, depende de la media, la varianza, la asimetría y la curtosis (primero, segundo, tercer y cuarto momento respectivamente).

Como es evidente, los inversores quieren una media alta (y positiva) y una baja volatilidad ¿Pero que ocurre en cuanto a la asimetría y la curtosis? La aproximación de 4º grado de la desigualdad de Jensen muestra que el tercer y cuarto términos son también relevantes a la hora de invertir. Habitualmente, de acuerdo con la teoría clásica de inversión, no se hace caso de estos dos términos y se analiza el problema de la inversión considerando sólo los dos primeros términos (de ahí la denominación análisis media-varianza).

En realidad, la asimetría y la curtosis juegan un papel esencial en la determinación del resultado de una inversión. Una media alta (rentabilidad alta) a menudo implica una alta asimetría positiva. La asimetría positiva implica pequeñas ganancias frecuentes, pero también pérdidas infrecuentes grandes. Lo que significa que a largo plazo el inversor puede ver como le limpian sus bolsillos.

(1) Asumen que los rendimientos de los activos siguen una distribución normal.

(2) La función de utilidad, U() es un intento científico de racionalizar las decisiones. El uso de funciones de utilidad en la elección financiera tiene su origen en el trabajo de Daniel Bernouilli, publicado en 1738, llamado Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis.

Mercados + matemáticas = caos total

2009-06-29T14:23:00.007+02:00

Esta ecuación resume una opinión errónea sobre el papel desempeñado por las matemáticas en la crisis bancaria, que se está extendiendo en los círculos financieros y regulatorios. Por ejemplo, esta semana el informe de Lord Turner, presidente de la Autoridad de Servicios Financieros, culpó a la " inapropiada confianza en las matemáticas sofisticadas" que ha tranquilizado a los altos directivos de los bancos proporcionándoles en una falsa sensación de seguridad acerca de los riesgos que estaban tomando. Términos como cuantitativos, geek y científico, antes utilizados con respeto cariñoso, ahora tienen connotaciones oscuras.

Los matemáticos tienden a ser tímidos y retraídos, en comparación con otros grupos profesionales, y no han salido a defenderse en público. En privado, sin embargo, están cabreados y es comprensible, ya que el problema no son las matemáticas en sí, sino la forma en que las utilizan los bancos.

Contrariamente a la afirmación del Señor Turner, los bancos no son suficientemente sofisticados. Han simplificado en exceso, y han asumido con distancia las limitaciones y salvedades de sus modelos. Ellos hicieron esto para transmitir una ilusión de exactitud y precisión, y así convencer a los mercados de que tenían todo bajo control.

La medida estándar de riesgo utilizada por la industria desde mediados de los años 90, conocida como Valor en Riesgo o VaR, fue criticada por los matemáticos casi desde el principio por la forma en que establece inferencias acerca de los riesgos futuros, basándose en patrones de movimiento de precios observados en períodos anteriores. Como resultado, el riesgo de acontecimientos extremos que pueden significar la quiebra del banco fue subestimados.

Esencialmente, las instituciones financieras han ordenado a sus "quants" que construyan modelos matemáticos adaptados a los precios de mercado - no importa si los precios no estaban alineados con cualquier análisis fundamental. Como resultado de ello, la malformación de precios fue apoyada por un falso barniz de respetabilidad científica. Y la industria se vio atrapada en un "circuito de retroalimentación positiva" del cual nadie se atrevió a salir.

Para el futuro necesitamos más - y mejores - matemáticas para apuntalar los bancos y un mejor régimen de regulación que los supervise. Algunos de los expertos matemáticos ya están ahí fuera, en las universidades, a la espera de ser utilizados.

Pero la matemática financiera no ha sido insuficiente, dada su importancia económica. Los sectores público y privado deben implicarse más en la investigación en este campo. Por ejemplo, necesitamos saber más sobre la forma en que la psicología humana afecta a los modelos de mercado, y sobre los escenarios en los que los modelos se pueden romper.

Al mismo tiempo, los directivos de los bancos deben estar mejor informados sobre la base matemática de su industria. Su total ignorancia sobre la "caja negra" que suponen los sistemas utilizados por sus empresas no es una excusa aceptable para el fracaso.

Por último, los matemáticos deben abandonar su tradicional reticencia y luchar firmemente por su disciplina. Entonces, el mundo financiero apreciará la verdadera ecuación:

Mercados menos matemáticas igual a caos.

Articulo original en Financial Times. Publicado: 21 de marzo 2009 02:00 | Última actualización: 21 de marzo 2009 02:00 Maths and markets.Published: March 21 2009 02:00 | Last updated: March 21 2009 02:00.

Análisis Depósito Rentabilidad Garantizada 7 ING DIRECT

2008-04-21T16:31:00.000+02:00

Análisis rentabilidad/riesgo del producto.
Riesgo (lo que se puede perder): El cliente de ING invierte un nominal por el cual obtendrá el máximo entre una rentabilidad del 7% (2,28% anual) o el 40% de la revalorización del EuroStoxx50 (entre la fecha del depósito y el vencimiento). Para ello, compra al emisor una opción europea estándar por la que paga 3085 euros (sobre un nominal tomado como ejemplo de 60.000 euros).

Esta cantidad es la diferencia entre lo que obtendría el cliente si compra hoy 60000 euros en Bonos del Tesoro a 3 años al 3,83% anual (última subasta) y lo que le garantiza la entidad (2,28%). Los 3085 euros que obtendría de forma segura con los bonos, los cambia por el 40% de lo que suba el índice en los próximos 3 años. Por lo tanto, la pérdida máxima de este depósito es 3085 euros (5,14%).

Rentabilidad (lo que se puede ganar): El que compra el “Deposito Rentabilidad Garantizada” está definiendo unas expectativas alcistas para el EuroStoxx50 superiores al 30%. La rentabilidad esperada del EuroStoxx50 para los próximos 3 años (en base a datos históricos) es del 28%. Esto se traduce en una rentabilidad esperada del Depósito del 11,2% (menos que con los bonos).

Conclusiones:

1. Cliente sin expectativas o con expectativas bajistas sobre la bolsa que busca una inversión sin riesgo. NO debería comprar este producto. La apuesta a que el EuroStoxx50 subirá no es gratis. La posibilidad de obtener rentabilidades superiores a la de una inversión sin riesgo (bonos, depósitos convencionales) tiene un coste de 3085 euros. Muchos clientes apuestan a bolsa mediante estos productos sin ser conscientes de ello, atraídos por la falsa apariencia de coste cero.

2. Cliente con expectativas alcistas que quiera apostar en bolsa con pérdidas limitadas. Como explicamos en el anterior comentario un cliente que tenga expectativas alcistas respecto al EuroStoxx50 tiene dos alternativas:

a) Comprar el depósito de ING.
b) Ir al mercado a comprar los bonos y una opción sobre EuroStoxx50 que le garantice el mismo porcentaje de revalorización que el prometido por ING.

Y quedarse con la más barata. Para poder comparar se puede utilizar esta hoja de Excel.

Estructurados. Deposito bolsa 60 garantizado de ING DIRECT.

2008-04-06T20:49:00.002+02:00

Los productos estructurados son el resultado de una combinación de uno o varios activos de renta fija y productos derivados, con la finalidad de crear un producto de inversión o cobertura. La banca minorista comercializa habitualmente los siguientes: depósitos bolsa, fondos garantizados y seguros.

Nuestro objetivo es valorarlo y ver la conveniencia de comprarlo. Cuando digo valorar no me refiero a dar una opinión como las que se dan en ciao!es. Buscamos un precio, un número, no juicios de valor sobre la bondad del producto. Buscamos un precio que nos permita tomar una decisión.

El Depósito Bolsa 60 Garantizado es un depósito a 36 meses. A vencimiento paga el 60% de lo que suba el Euro Stoxx 50 entre la fecha de contratación y la de vencimiento. Si el índice sube un 10% recibes un 6% que se aplica al nominal invertido. Además te garantizan como mínimo el capital invertido. Si la bolsa va mal no ganas nada pero recuperas el 100% de la inversión (no quiere decir que no pierdas nada).

Riesgos: El cliente de ING invierte un nominal por el cual obtendrá solo el interés derivado de la revalorización del Euro Stoxx 50. Para ello, recibe del emisor una opción europea estándar por la que paga 7760 euros tomando como referencia un nominal de 60.000 euros:

60000 - 60000 *(1/(1+4.752%)^3)) = 7760 euros

De los que como veremos más adelante, 5767 euros son el coste de la revalorización prometida del 60% (opciones) y el resto hasta 7760 es el margen de la entidad.

Por lo tanto, la pérdida máxima de este depósito es 7760 euros, cantidad que obtendría el cliente si contrata hoy un producto de renta fija cupón cero a 36 meses al Euribor actual (condiciones que no son difíciles de conseguir dado el importe y el plazo). Esta cantidad la cambia por el 60% de lo que suba el índice en los 3 años.

Por lo tanto, el que compra el “Deposito Bolsa 60” está definiendo unas expectativas alcistas para el Euro Stoxx. Además espera que el crecimiento del índice supere al tipo de interés sin riesgo. Si el índice no alcanza el nivel del Euribor el inversor incurrirá en pérdidas.

El emisor en caso de no cubrir la estructura corre el riesgo de pagar rentabilidades superiores a las de los depósitos interbancarios. Además se ve perjudicado por un aumento de la volatilidad del subyacente, ya que, su posición neta es vendedora de una opción.

Construcción (Emisor). Ver hoja de cálculo siguiente.

http://spreadsheets.google.com/pub?key=pNhDHgHkxKEUbTJ1utrQCFQ

Valoración (cliente). Hoy el cliente tiene 2 alternativas:

1. Comprar el depósito de ING.

2. Ir al mercado y comprar los productos que repliquen (me paguen) hoy los pagos de este depósito (el producto de renta fija y las opciones).

Supongamos que obtenemos en el mercado unas condiciones un poco peores que las del emisor. Encontramos una inversión en renta fija al 4% y una CALL al 22% .

No es relevante saber que productos exactamente utiliza la entidad (repos, bonos, depósitos del interbancario) para valorar el producto. Para determinar si nos interesa el depósito de ING lo relevante es el coste de la cartera que replica sus pagos. Lo vemos en la siguiente hoja de cálculo.

http://spreadsheets.google.com/pub?key=pNhDHgHkxKEXlt1PVeyVeDw

Aun con peores condiciones obtenemos un % de revalorización mayor luego el depósito no es interesante (además hemos detectado una posibilidad de arbitraje). En nuestro supuesto, el estructurado es caro.

El 68% lo obtenemos haciendo los mismos cálculos que anteriormente pero con las condiciones de mercado obtenidas por nosotros y haciendo cero el margen de ING.

El capital invertido en las opciones en este caso es de 6660 euros frente a 5767 que invertía la entidad y así quedarse con su margen.

O lo que es lo mismo, puedo conseguir en el mercado mejores condiciones que con el depósito. Recordemos que el emisor vende (al inversor) una opción call por 7760 (5767+ margen de la entidad) a cambio de una revalorización del 60%.

La valoración anterior es la información verdaderamente útil para un inversor. No tengo ni idea de si el índice subirá (ni mucho menos cuanto). Como “asesor” mi función no es crear expectativas sino dar información que permita decidir al inversor en función de las expectativas que ya tenga.

Si un inversor considera insuficiente obtener el Euribor y quiere apostar a través de la bolsa con un estructurado, la obligación de un “asesor financiero de verdad” es valorar el producto y en caso de que sea caro encontrar para el cliente una alternativa más barata.

Mathematics for Traders

2008-03-21T21:40:00.002+01:00

Leyendo a TRADER 007 me viene a la mente este interesante artículo del equipo de Risk Latte Company que os presento traducido. Creo que complementa los valiosos comentarios que, desde un enfoque más práctico, él nos ofrece en su blog.

" Estamos realmente cansados de ecuaciones diferenciales e integrales, Black Scholes, Markowitz, fronteras eficientes, superficies de volatilidad, puts sintéticas y demás. Quizás es porque nuestra capacidad intelectual ha menguado. Detrás de cada Quant estos días hay un doctorado y de cada Trader un matemático. Estamos avergonzados de nosotros mismos. Pero honestamente, ¿ cuántas matemáticas se necesitan realmente para hacer dinero en los mercados y vivir felices para siempre? Si nos preguntan, estas son todas matemáticas que se necesitan para manejarse como Trader de un banco o una institución financiera.

Math Theorem # 1
Una orden stop loss es la mejor opción put que puedas comprar. Una orden stop loss es la estrategia mas simple de aseguramiento de una cartera, y quizás la más efectiva, que un Trader puede implementar .
Conclusión: Los mercados son esencialmente no lineales y no están en equilibrio, por consiguiente, la única cobertura que funciona para nuestra cartera es una orden stop loss.

Math Theorem # 2
La vida de los Traders sigue la ley del arco seno del movimiento Brownianio por lo que es muy probable que en un año un Trader pase un mes en negro y once meses en rojo (haciendo pérdidas) en lugar de pasar seis meses en "negro" y seis meses en "rojo".

Conclusión: Un solo año de resultados nunca refleja la habilidad de un trader.

Math Theorem # 3
Nuestro hombre, Keynes, lo entendió bien: la diversificación es contraproducente. Y parafraseándole a él, una pequeña inversión en un gran número de empresas de las que un gestor tiene muy poco conocimiento (la investigación tiene sus límites) e información para llegar a un buen juicio, en contraposición a un considerable inversión en una sola empresa, donde la información y conocimiento es más o menos adecuada, es una estrategia perdedora. En otras palabras, los administradores de fondos no hacen dinero de sus habilidades sino de las comisiones de gestión sobre los activos bajo gestión y de la total estupidez de los inversores. Un Trader, por el contrario, hace dinero de sus habilidades.

Math Theorem # 4
El lema de Borel-Cantelli para los Traders establece que si hay un muy grande número de jugadores en el mercado entonces la probabilidad de que uno de ellos produzca excepcional retorno en un año es muy alto. Pero la probabilidad condicional de que el mismo Trader produzca otro retorno extraordinario consecutivo en el año 2 después de haber generado un retorno extra en el año 1, es muy baja. Nassim Taleb llama a esto síndrome de los "Monos sobre maquinas de escribir"

Conclusión: si tu eres un Trader y tienes un excepcionalmente buen año extrae tanto bonus como puedas de tu empleo actual y entonces salta del barco y prueba a conseguir lo mismo del siguiente empleador. Los gestores de fondos no necesitan preocuparse de este lema porque aunque hagan beneficios o pérdidas ellos esquilan al inversor con las comisiones de gestión y el 99% de los inversores o son estúpidos o tienen demasiado dinero."

Team latte
September 28, 2006

2008-03-18T19:49:00.001+01:00

La religión, desde mi punto de vista, es la invención de la inmortalidad para no tener que enfrentarnos a la realidad de la muerte.
David Cronenberg

Análisis técnico y sesgo de supervivencia.

2008-03-16T18:04:00.002+01:00

Ya hemos hablado anteriormente del sesgo de supervivencia como uno de los problemas más importantes a la hora de hacer una adecuada selección de fondos. El sesgo de supervivencia implica que la realizaciones de mayor rendimiento sean las únicas visibles al eliminarse de la muestra a los perdedores.

La rentabilidad histórica es la variable más utilizada por los inversores para elegir un fondo. Pero cuando analizamos los rendimientos históricos de los fondos deberíamos tener en cuenta que estamos utilizando las trayectorias de una parte del total de los fondos (los supervivientes).

En efecto, usamos solo los fondos de éxito puesto que la mayoría de los fondos que fracasaron han desaparecido siendo liquidados o absorbidos por otros fondos. Esto produce una sobreestimación de la rentabilidad y subestimación del riesgo.

También vimos en "Experimentos Monte Carlo. La importancia (relativa) del gestor de fondos" como una población suficiente de malos gestores produce una pequeña cantidad de fondos impresionantes. El azar (más concretamente la volatilidad) ayudaba en esto.

¿Puede aplicarse este razonamiento para explicar el éxito de algunas reglas de análisis técnico? En Data-snooping, technical trading rule performance, and the bootstrap de Ryan Sullivan, Allan Timmermann y Halbert White, los autores apuntan en esta dirección al manifestar que las reglas de trading que se aplican con éxito en la actualidad pueden ser fruto del sesgo de supervivencia.

El término en ingles Data snooping se refiere a que es inevitable encontrar estrategias superiores en una muestra dada cuando se parte de un número alto de ellas.

" Vamos a evaluar el desempeño de una regla de trading de una manera que podamos determinar con certeza si el rendimiento superior es resultado de un contenido económico superior, o simplemente debido a la suerte.

Data snooping no tiene porque ser fruto del esfuerzo de investigación. Esto puede ser resultado de un sutil sesgo de supervivencia que ha ido actuando sobre el conjunto total de reglas de trading que han sido consideradas históricamente.

Suponga que, a lo largo del tiempo, los inversores han estado experimentando con sistemas de trading sacados de una gama muy amplia; en principio, miles de parametrizaciones de diversos tipos de reglas.

A medida que avanza el tiempo, las reglas que tienen buenos resultados históricamente reciben más atención y son consideradas como "serias aspirantes" por la comunidad inversora, mientras que es más probable que las reglas que no tienen éxito sean olvidadas.

Después de un largo período, sólo un pequeño conjunto de reglas de trading serán tomadas en consideración, y sus trayectorias históricas serán señaladas como justificación de sus méritos.

Si se ponen a prueba suficientes reglas de intermediación a lo largo del tiempo, algunas reglas, por pura suerte, incluso en una muestra muy grande, obtendrán un rendimiento superior incluso si no tienen realmente un poder mayor de predicción del rendimiento de los activos.

Por supuesto, la inferencia basada en el subconjunto de reglas de intermediación supervivientes puede llevar a error, puesto que, no se tiene en cuenta el conjunto de reglas de intermediación iniciales, la mayoría de las cuales probablemente habrán tenido un rendimiento inferior. " Ryan Sullivan, Allan Timmermann, Halbert White.

¿Es una solución alargar el plazo de las hipotecas como se desprende de la propuesta de Solbes?

2008-03-01T16:24:00.002+01:00

La propuesta lanzada por el Ministro de Economía de eliminar los costes derivados de alargar el plazo de la hipoteca, y así disminuir la cuota mensual, ha podido crear expectativas en muchas personas que lo ven como una solución a sus problemas para llegar a fin de mes. Pero...¿Están justificadas esas expectativas?

Los medios de comunicación se han centrado en cuantificar el ahorro en comisiones que supone la propuesta, sin entrar a valorar si realmente es interesante para el hipotecado ampliar el plazo o no.

Desde el punto de vista del deudor, un aumento del plazo a vencimiento del préstamo será interesante siempre que la reducción de la cuota mensual sea significativa. ¿ Es esto siempre así? En el siguiente gráfico se ve la evolución de la cuota mensual según aumenta el plazo. Se ha calculado sobre un importe de 150.000 euros aunque la cuantía del préstamo no es relevante para el análisis. La evolución es la misma para cualquier importe. Se ha aplicado el sistema francés con 12 cuotas a pagar al año (lo típico).

Se aprecia claramente que la reducción de la cuota mensual no es constante. Entre 1 y 30 años el importe de la cuota se reduce con energía. A partir de 30 años decrece muy lentamente. ¿Qué implica esto? La disminución en el importe de la cuota mensual es mucho menor cuando pasamos de 30 a 40 años que cuando pasamos de 20 a 30 años (aunque en ambos casos se trate de incrementar la duración del préstamo en 10 años).

Si pasamos de 20 a 30 años (10 años más) la cuota se reduce un 17% aproximadamente. Si nuestro préstamo es a 30 años y queremos esa misma reducción debemos alargarlo hasta los 55 años (25 años más).

Otro aspecto que debemos considerar es que el tipo de interés no es constante. ¿Cómo afectan los cambios de tipos a la propuesta? Un aumento del tipo de interés produce que la curva se vuelva más plana. Ver el siguiente gráfico. ¿Qué quiere decir esto? A medida que los tipos aumentan alargar el plazo tiene menos efecto sobre la cuota mensual. Con un tipo del 4% pasar de 20 a 30 años reduce la cuota un 17%. Con un tipo del 7% la reducción es del 10%.

Finalmente , ¿ Qué pasa con los intereses? Prepárese para pagar intereses...

Podemos pensar que si tenemos un préstamo a 20 años y lo pasamos a 40 (el doble de tiempo) pagaremos el doble de intereses (lo cual de por si ya es la hostia) . Pues no...Si aumentamos el plazo pagaremos bastante más del doble.

¿Porqué se produce esto? La forma de la función del interés compuesto tiene algo que ver. Es una función exponencial. Esto significa que los intereses no aumentan proporcionalmente (linealmente) con el tiempo. Este incremento es cada vez mayor según alargamos el tiempo. Es lo que produce que la reducción en la cuota mensual sea cada vez menor.

Conclusión. Desde el punto de vista del deudor, ¿ es buena la medida? Depende del plazo que tengamos contratado. Si tenemos un préstamo a 30 años no parece una buena idea alargarlo más. Para plazos inferiores a 30 años, un incremento del tiempo si puede suponer una disminución significativa de la cuota mensual, a costa de pagar muchos más intereses.

Pero no nos engañemos. La media de los préstamos hipotecarios en España está en 30 años, que es la zona a partir de la cual el efecto disminución de la cuota es menor y el efecto incremento de intereses es mayor.

Finalmente , aumentar el tiempo supone hacer la bola de nieve más grande puesto que a medida que aumentamos el plazo, la deuda total con el banco es mayor. Algo que, en principio, no parece adecuado cuando se trata de familias que ya presentan " especiales dificultades económicas".

En todo caso, nunca será una solución para aquellas familias que quieran disponer de más renta y mantener su nivel de consumo.

Rentabilidades Implícitas. Black y Litterman.

2008-02-17T23:50:00.002+01:00

Uno de los problemas más importantes para un inversor es obtener estimaciones de los rendimientos futuros de un activo (expectativas). Hay varios caminos para intentar estimar rentabilidades.

Por ejemplo, podemos utilizar el análisis fundamental y el análisis técnico para obtener una valoración o precio objetivo. La estimación del rendimiento futuro del activo (en términos absolutos) sería la diferencia entre el objetivo y el precio actual.

En este comentario vamos utilizar la idea de extraer información del mercado para obtener rentabilidades implícitas. Al igual que la volatilidad implícita es inferida del precio de una opción/opciones que se negocian en el mercado, la rentabilidad implícita puede obtenerse de las acciones que conformen una "cartera de referencia".

Esta idea fue introducida por Black y Litterman en 1992 cuando crearon un modelo para Golman Sarchs en cuya base, a su vez, está el modelo de Markowitz. El modelo de Markowitz es el ya conocido modelo media-varianza en el que un inversor quiere obtener la máxima rentabilidad (que obtenemos calculando la media de los rendimientos) sujeto a un determinado riesgo o volatilidad (que obtenemos calculando la varianza o desviación típica de los rendimientos).

Hay algo de matemáticas. Pero son sencillas, incluso para mi que no soy matemático. Solo un poco de notación matricial y alguna derivada. Para el que no esté interesado puede saltárselas y ver la hoja de Excel con un ejemplo implementado.

Definimos:

П = Vector de Rentabilidades implícitas que buscamos.
П = [r1, r2, ... r(m)]
λ = coeficiente de aversión al riesgo del inversor.
Σ = Matriz Covarianzas de los activos que componen la cartera.
w = vector de pesos de cada activo en la cartera = w(1), w(2), ... w(n)
(donde w(1)+w(2)+ ...+w(n) = 1).
r = vector de rendimientos de los activos de la cartera = r(1), r(2), ... r(n)

Partimos del modelo de Markowitz en el que el inversor quiere maximizar la rentabilidad expresada como:

E(Rc) = w(1)r(1) + w(2)r(2) + ... +x(n)r(n).

El inversor exige máxima rentabilidad a su cartera E(Rc) sujeta a un riesgo máximo (varianza de la cartera) asumible expresada como:

donde

La idea es encontrar los pesos w que cumplan los deseos del inversor. Para lo que hacemos el Lagrangiano y nos queda:

Hacemos la derivada respecto de w ...

De donde despejando de la primera ecuación obtenemos que las rentabilidades implícitas П son…

Multiplicando a ambos lados por

Obtenemos los pesos óptimos

En esta es la ecuación Σ es la matriz de covarianzas que puede calcularse, por ejemplo, usando series diarias de precios de los activos que componen la cartera. Los pesos w son los pesos de los activos en la cartera que queremos analizar. Por ejemplo, si la cartera es el IBEX35, "w(i)" es el peso de cada activo en el índice IBEX. El coeficiente λ es el coeficiente de aversión que se calcula como :

Puedes ver un ejemplo en la siguiente hoja de cálculo.

La ecuación anterior se puede aplicar a cualquier cartera si nos movemos en un mercado "normal". Pero la idea original refiere su aplicación a la "cartera de mercado" obtenida a partir de un razonamiento de equilibrio.

¿Cuál es la "cartera de mercado"? Litterman apunta al modelo CAPM como modelo de equilibrio y como "cartera de mercado" la que se deduce en dicho modelo. La "cartera de mercado" es inobservable por lo que se aproxima habitualmente mediante un índice de mercado.

Hay una serie de supuestos que se deben cumplir. Un mercado relativamente eficiente, donde la información relevante es accesible para todos y no hay un inversor suficientemente importante para manipular los precios de los activos (al menos de forma sistemática). Pueden ser mercados americanos o similares de gran tamaño.

En ese mercado, todos los inversores quieren obtener la máxima rentabilidad con el mínimo riesgo, disponen de información más o menos fiable y hay tanta gente haciendo arbitraje que prácticamente lo han anulado.

Si esto se cumple, en ese mercado, habrá una situación de equilibrio donde los inversores demandarán una cartera llamada la "cartera de mercado" que es la que da el máximo ratio de Sharpe. Como decíamos antes, es inobservable, por lo que aproximaremos con un índice como el IBEX, IGBM, Down Jones, etc.

Litterman admite que el equilibrio no se produce en los mercados financieros actuales. Pero lo defiende porque va a ser una herramienta útil para el inversor. Aplicando la ecuación obtenida a esos índices podremos hacernos una idea de las rentabilidades que el mercado asigna a los activos y posicionarnos en función de ellas según nuestras expectativas.

El modelo de Black Litterman va mucho más allá e introduce toda una metodología de inversión. La idea es aproximar la cartera de mercado con el IBEX. En el caso de que no tengamos estimaciones propias sobre las acciones del IBEX que difieran de las rentabilidades implícitas que el mercado asigna, un inversor debería invertir en las proporciones dictadas por la cartera de mercado ( % de cada acción en el IBEX) la cantidad de dinero que desee. Ahora bien, si tenemos expectativas diferentes respecto a determinados activos del IBEX, el modelo BL nos permitirá introducirlas y obtener una cartera cuyos pesos y rentabilidad reflejarán esas creencias.

Así el modelo permite obtener expectativas de rentabilidad coherentes, ya que , reporta unas "rentabilidades ajustadas" que incorporarán la información del mercado y las expectativas del inversor. Pero eso es otra historia...

¿Existe la suerte? Engañados por el azar

2008-01-25T21:33:00.001+01:00

Brillante, incisivo. Así veo yo a Taleb. Su libro es el antídoto que necesitamos para inmunizarnos de esos libros de recetas y/o manuales de inversión que prometen hacernos millonarios. De lectura obligada para cualquiera que quiera jugarse la pasta en los mercados financieros.

¿Existe la suerte? Engañados por el azar de Nassim Nicholas Taleb es un excelente libro que aclara muchas ideas sobre la suerte o el azar y hasta que punto muchos se empeñan en confundirnos y mostrar como talento lo que es suerte. No se deje engañar, el grado de azar en las profesiones relacionadas con los mercados financieros es altísimo. Esa gestión de éxito que intentan vendernos cada día, la mayoría de las veces, es pura suerte.

Su libro es de un nivel intelectual altísimo y está lleno de ideas brillantes como "el cisne negro", "el tonto con suerte". Su análisis de los medios de comunicación económicos es revelador.

Algunas partes del libro son especialmente brillantes ,y para algunos, hirientes. No puedo resistirme e iré poniendo algunas citas…Aquí va la primera...

"Cuando trabajaba en la oficina de Nueva York de una importante empresa de inversiones me vi sometido en ocasiones a la abrumadora «reunión de análisis» semanal que reunía a la mayoría de los profesionales de la oficina de Nueva York. No disimulo el hecho de que me desagradaban esas reuniones, y no solo porque coincidieran con mi hora de ir al gimnasio. Aunque estas reuniones incluyan a operadores, es decir, a gente a quien se juzga por su rendimiento numérico, se trataba fundamentalmente de una reunión de vendedores (personas capaces de encandilar a los consumidores) y de la categoría de animadores denominados «economistas» o «estrategas» de Wall Street que se pronuncian sobre el futuro de los mercados, pero no participan en ninguna forma de aceptación de riesgos y que, por tanto, su éxito depende de la retórica más que de hechos contrastables. Se supone que, durante el análisis, la gente tiene que presentar sus opiniones sobre la situación mundial. Para mi, la reunión era mera contaminación intelectual. Todo el mundo tenía una teoría, una historia, una idea que quería que los demás compartieran. Me disgusta la gente que, sin haber hecho los deberes en la biblioteca, piensa que puede tener una idea original e intuitiva sobre determinado asunto..."

Ganancias y pérdidas por ...John A. Paulos

2008-01-13T20:14:00.000+01:00

Esta historia cuenta como el cerebro tiene dos cuentas diferentes, una es la de las pérdidas y ganancias y otra es la de la actividad real. Y cómo es posible tener las dos.

"Es la historia de un recién casado en Las Vegas, que se despierta a media noche, no puede dormir, y ve la ficha de 5 dólares en la cómoda, se pone la bata, baja al casino y la pone en la ruleta en el número 17. Sale el número 17 y de repente tiene 175 dólares. Pone los 175 dólares al número 17 una y otra vez hasta que consigue unos cuantos miles de dólares, y está encantado con su suerte. Lo hace de nuevo y vuelve a ganar, ya tiene casi un millón de dólares. Intenta hacerlo de nuevo, pero el casino no le deja apostar, dicen que es demasiado. Se va a otro casino y gana de nuevo.

Bueno, no importa cuantas veces gane... Al final dice: voy a apostar por última vez. Y lo pierde todo, y se queda sorprendido. Regresa a su habitación y su mujer le pregunta: ¿dónde estabas? Y él le dice: no podía dormir y he bajado a hacer una apuesta. Y le pregunta: ¿y cómo te ha ido? Y él responde: sólo he perdido 5 dólares. En un sentido sólo ha perdido 5 dólares, si es que quieres mirarlo así."

John A. Paulos

Optimización de Carteras

2007-11-26T10:51:00.000+01:00

Los métodos de optimización juegan cada vez un papel más importante en las decisiones financieras. Muchos de los problemas que encontramos diariamente en finanzas, como la configuración de carteras o la gestión del riesgo, pueden ser resueltos de manera más eficiente utilizando las técnicas de optimización modernas.

Como adelantaba en el anterior comentario, podemos especular o invertir utilizando varios activos o concentrar todo nuestro capital en uno solo. En este último caso, si aciertas ganarás una pasta pero si fallas habrás perdido una buena parte o la totalidad del capital.

La teoría de carteras no contempla el suicidio financiero, y por lo tanto, se basa en la diversificación. Los métodos de optimización cobran sentido en este ámbito.

Dada la imposibilidad manifiesta de predecir el precio futuro de un activo concreto (1) no nos queda mas remedio que utilizar la diversificación. Invirtiendo en varios activos el error que cometemos al elegir un activo individual queda diluido, en cierta medida, gracias a la evolución del resto de los activos que componen la cartera.

Pero no podemos diversificar hasta el infinito. Diversificando podríamos anular el riesgo especifico de una cartera casi completamente. Si además, incorporamos a nuestra cartera un futuro vendido sobre el IBEX35 eliminaríamos el riesgo sistemático o de mercado. Sería una cartera sin riesgo. Pero un activo sin riesgo solo paga el tipo de interés sin riesgo. Si solo vamos a obtener la rentabilidad del Euribor evitemos todo este trabajo y los costes asociados y compremos un depósito.

Esta claro. Solo asumiendo riesgo obtendremos rentabilidad. El inversor debe identificar que riesgo quiere aceptar y de que riesgo o riesgos desea protegerse.

Los modelos de selección de carteras, junto con las herramientas de optimización, permiten realizar esta tarea, ponderando la rentabilidad y el riesgo de la inversión en función de las preferencias del inversor de una manera muy eficiente. Por ejemplo, si usted es alcista podemos ponderar los activos de la cartera de forma que tenga una beta ligeramente positiva (que no sea neutral al mercado completamente).

Dado un conjunto de activos previamente seleccionados, la rentabilidad y el riesgo de una cartera dependerán de la proporción invertida en cada uno de ellos. Determinar esos porcentajes es el objetivo de los modelos de selección de cartera.

No basta con elegir los activos en los que vamos a invertir o especular. Es muy importante definir el peso que tendrá cada uno de ellos en la cartera porque ese porcentaje es el que determina realmente el riesgo que asumimos. Una cartera con 90% de Jazztel y 10% en BBVA tiene más riesgo que una cartera con 90% de BBVA y 10% en Jazztel. El problema no es incluir Jazztel sino la ponderación que le asignemos a ese activo.

Mantener ponderaciones adecuadas al riesgo es difícil cuando se van eliminando e introduciendo nuevos activos en nuestra cartera de manera intuitiva a lo largo del tiempo.

Los modelos de asignación de activos permiten definir inicialmente el porcentaje en cada activo y redefinir los pesos de la cartera mientras dure la inversión, por ejemplo, cuando se introducen o eliminan elementos en la cartera, cuando se superan los límites de riesgo establecidos, etc.

Vamos a ilustrar estas ideas utilizando el modelo clásico de Markowitz (2). El riesgo lo medimos con la varianza y la rentabilidad con la media aritmética ponderada de las rentabilidades de los activos que componen la cartera. Ambos cálculos se realizan en base a datos históricos ponderando más los más próximos a la fecha actual.

Nuestro objetivo es construir carteras óptimas. Son óptimas en el sentido de asegurarnos que la cartera que elige el inversor es la que obtiene la máxima rentabilidad para el nivel de riesgo que ha asumido, o también la que tiene el mínimo riesgo de entre todas las que dan la misma rentabilidad.

Para plantear un ejemplo vamos a utilizar los 12 activos que propusieron los Bloggers el mes de octubre para cartera consenso de CARTERAS.ORG . Telefónica, Jazztel, EADS, BBVA, SAN, Realía, Adolfo Domínguez, Ercros, Fersa, Iberia, Mapfre, Zeltia. Los activos más votados fueron Telefónica, Jazztel, EADS, BBVA, SAN.

En el gráfico se puede apreciar una línea discontinua negra que representa la frontera o máximos valores de rentabilidad y riesgo que podemos alcanzar combinando de diferente manera los 12 activos sin imponer restricciones (podemos vender activos pero no apalancarnos).

E[Rp] es la rentabilidad esperada de la carteras y Sigma[p] es la volatilidad esperada de la carteras.

La frontera azul representa las carteras que podemos formar eligiendo entre un universo de 12 activos pero con 2 restricciones: no venta de activos y ponderación máxima por activo del 30%. Aclarar que elegir entre 12 activos no quiere decir que usemos los 12 (pueden usarse 4,5,6,8,9…) . El programa de optimización utilizará los necesarios para obtener la combinación de rentabilidad riesgo óptima con un máximo de 12 en cada cartera.

Al introducir restricciones la rentabilidad posible se reduce y la frontera se desplaza hacia abajo.

Como no queremos incurrir en muchas comisiones hemos introducido (además de las anteriores) la restricción de cardinalidad limitando el número de activos en cartera a 5. Es la línea roja. Evidentemente no podemos, al menos a priori, alcanzar las mismas rentabilidades utilizando 12 activos que utilizando solo 5.

La frontera de color rojo muestra las carteras que podemos hacer tomando un máximo de 5 de entre los 12. Las posibilidades se reducen muchísimo. Trabajar con pocos activos, especializarse , tiene ventajas pero también tiene su coste…

El círculo azul de más abajo presenta la cartera que incluye los 12 activos todos con la misma ponderación (p = 8,33% en cada uno) y que claramente es ineficiente (tiene un rentabilidad del 1,43% mensual) , ya que, ponderándolos de otra manera ( 30% en Telefónica, 1% EADS, 2% en Santander, 30% en Realia, 7% en Fersa y 30% en Iberia) podemos con el mismo riesgo (3,13%) obtener a priori un 5,68% mensual (circunferencia negra mas grande).

Cartera	ER(i)	w_CE	ER_CE	Cartera Optima	w_opt	ERp_opt
Telefonica	7,25%	8,33%	1,43%	Telefonica	30%	5,68%
Jazztel	-2,17%	8,33%	Sigma_CE	0	0%	Sigma_opt
EADS	2,78%	8,33%	3,13%	EADS	1%	3,13%
BBVA	-1,88%	8,33%		0	0%
SAN	2,93%	8,33%		SAN	2%
Realia	4,65%	8,33%		Realia	30%
Adolfo Dom.	-5,03%	8,33%		0	0%
Ercros	-2,06%	8,33%		0	0%
Fersa	3,36%	8,33%		Fersa	7%
Iberia	5,94%	8,33%		Iberia	30%
Mapfre	0,53%	8,33%		0	0%
Zeltia	0,81%	8,33%		0	0%

Notas sobre la tabla: Cartera son los 12 activos, ER(i) es la rentabilidad estimada de cada activo, w_CE son los pesos de cada activo en una cartera equiponderada, ER_CE es la rentabilidad esperada de la cartera equiponderada, Sigma_CE es su volatilidad. Las otras columnas son las de la cartera optimizada que tiene el mismo riesgo pero más rentabilidad.

Representada con un círculo verde está la cartera equiponderada usando los 5 activos más votados. Tampoco parece una buena idea, a priori, utilizar esta cartera.

No olvidemos que rentabilidad y riesgo son estimaciones y que por lo tanto, es imposible saber como acabarán estas carteras. Pero hoy ,que es cuando hay que tomar la decisión, está claro que cualquiera de las carteras optimizadas son mejor alternativa que ponderar todos los activos igual.

Las estimaciones se han realizado con datos diarios hasta el 28 de septiembre del 2007. La cartera se considera constituida en esa fecha. A continuación, se ve la evolución de las carteras utilizando datos desde el 1 de octubre hasta el 23 de noviembre.

El histograma muestra la rentabilidades diarias que han obtenido cada una de las carteras durante 40 días de negociación desde al 1 de octubre. Ambas tienen parecido comportamiento pero observamos como la cartera optimizada ha caído menos. La cartera optimizada ha caído como máximo un 2%. La cartera equiponderada ha caído hasta un 3%. En todo caso, la cartera optimizada presenta un comportamiento parecido pero con un ahorro en comisiones evidente (6 activos respecto a 12).

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(1) Predecir el precio futuro de un activo es imposible. Las desviaciones son enormes y sistemáticas. El riesgo es enorme y nunca es remunerado adecuadamente por el mercado. Por lo tanto, no tiene sentido invertir en un solo activo. Ahora bien, por el contrario, si tiene sentido la tarea de estudiar e invertir en un número suficiente de activos. ¿Cuántos? Los que creamos necesarios. Con la esperanza de que sean capaces para compensar entre ellos los errores de predicción que cometemos sin pagar excesivas comisiones.

(2) En comentarios posteriores, introduciremos otros modelos más que tienen en cuenta los problemas de asimetría, curtosis, que presentan los rendimientos de los activos financieros.

Todos los cálculos se han realizado en MATLAB. Para obtener las fronteras se ha utilizado la toolbox de finanzas. Para implementar la restricción de cardinalidad se ha utilizado la técnica del templado simulado. Se han utilizado series de datos diarios. Las rentabilidades y el riesgo que se presentan se refieren a un horizonte temporal de un mes.

Nota: La estimación del riesgo en base a datos históricos suele dar buenos resultados. La estimación de rentabilidades en base a datos históricos suele fallar bastante. Introducir en el modelo rentabilidades estimadas con métodos más eficientes mejora bastante las previsiones.

De Heat Maps y correlación...

2007-11-06T17:54:00.001+01:00

Cuando tratamos con muchos datos es difícil entenderlos de forma rápida. En ese caso lo mejor es utilizar un modelo visual y explotar la habilidad que tenemos los humanos de entender los gráficos casi instantáneamente.

Convirtiendo los datos en gráficos, usando color, tamaño y formas podemos procesar más rápidamente la información.

Pongamos, por ejemplo, que queremos hacer un análisis de correlación entre activos. Podemos calcular medidas numéricas (como el coeficiente de correlación lineal) y/o hacer un gráfico de la evolución de los activos que nos permita ver como se comportan uno frente al otro.

Como ejemplo, el gráfico muestra las cotizaciones diarias del IBEX35 e Iberdrola durante el último año, normalizadas para poder observarlas en la misma escala. Se puede apreciar como Iberdrola está muy correlacionada con el IBEX35.

Lo mismo pasa con el IBEX35 y Telefónica. Hay momentos en que parecen el mismo activo.

Pero la cosa se complica cuando aumenta el número de correlaciones que hay que mantener en la cabeza o que hay interpretar mediante el gráfico. Como ejemplo, este gráfico muestra la evolución del ultimo año de los activos que proponen los bloggers para la cartera consenso de CARTERAS.ORG octubre 2007.

¿Porque analizar la correlación? La diversificación es, como nos dice la intuición o como demostró Markowitz, una medida eficaz para reducir el riesgo de nuestras inversiones. En general, diversificar es una buena idea aunque no para todos. Algunas inversores dicen que diversificando no es posible lograr buenas rentabilidades, que es mejor apostar todo a una sola apuesta ganadora. La mayoría consideramos que diversificando no te harás rico pero tampoco te arruinarás y preferimos controlar el riesgo que corremos.

Según la teoría de carteras cuando compramos una acción incurrimos en dos tipos de riesgos:
1º Riesgo específico. Riesgo derivado de la propia actividad de la empresa.
2º Riesgo de mercado. Riesgo derivado de la evolución de la economía. La medida más utilizada de este riesgo es la beta respecto a un índice como el IBEX35.

El riesgo de mercado no podemos eliminarlo vía diversificación ( si la economía va mal afectará a todos los activos (empresas) pero si se puede reducir el riesgo específico, eligiendo activos con correlaciones contrarias o nulas.

Suponiendo bastantes cosas, como que los activos se distribuyen según una normal, el coeficiente de correlación lineal nos da una aproximación aceptable de cómo se relacionan dos variables .

Una forma gráfica de analizar las correlaciones de, por ejemplo, el IBEX35 es usar un Heat Map (Mapa de Calor). Un Heat Map presenta un rango de colores en función de los valores introducidos. En nuestro caso el Heat Map lo vamos a denominar Mapa de Riesgo de Correlación.

El siguiente gráfico muestra el Mapa de Riesgo de Correlación del IBEX35 con datos agrupados por similitud basado en el algoritmo k-nn (K nearest neighbors).

Este mapa representa de un modo visual la correlación entre cada par de activos que componen el índice y entre todos ellos y el índice IBEX35. Por ejemplo, muestra la correlación de SGC con BBKT o la correlación del BBVA con el IBEX35.

Las variables (activos) están agrupadas por similitud de correlación. Esto quiere decir que los activos que están en el centro (en torno al valor 1) son los que presentan correlaciones más fuertes entre ellos. Por el contrario, los de los extremos presentan correlaciones más negativas con respecto a los demás. La diagonal representa la correlación de cada uno con el mismo, que evidentemente es 1. Según nos desplazamos hacia la derecha o hacia abajo tendremos los activos que muestran menos correlación con los demás del gráfico.

Observamos una presencia explícita de grupos formados por acciones. Así BBVA, SAN y TEF forman el grupo más correlacionado entre ellos y con el IBEX (es un cuadrado más rojo en el centro de la imagen anterior). Una cartera conformada con estos 3 activos tiene mucho riesgo no remunerado por el mercado.

TL5,MAP,BBKT,POP,BBVA,SAN,TEF,ACS,SAB,IBE,A3TV forman un grupo entorno al Ibex35 (zona roja). Son activos cuya rentabilidad está fuertemente vinculada a la evolución del IBEX35.

Los colores no están elegidos al azar. En el gráfico el color rojo se corresponde con la correlación positiva (activos más calientes) y el color verde con la negativa. Si queremos componer la cartera con activos del IBEX35 será interesante mezclar activos utilizando los de la zona verde (activos más a la derecha o abajo).

Un Heat Map además de visualizar y elegir activos con baja correlación, también nos permite monitorizar la cartera, una vez realizada, vigilando el grado de concentración que tiene.

Imaginemos que queremos configurar una cartera de activos. Una posibilidad podría ser usar los 5 activos de la cartera consenso de octubre de CARTERAS.ORG . Hacemos nuestro Heat Map y se enciende la luz roja. Estamos asumiendo mucho riesgo. Las correlaciones entre TEF, SAN, BBVA son muy altas y también son altas sus correlaciones con el Índice General de la Bolsa de Madrid (SMSI). En la periferia se sitúan EADS y JAZZ.

En el siguiente gráfico están el total de activos (12) recomendados por los bloggers en CARTERAS.ORG .

El trío SAN, TEF, BBVA aparece de nuevo. Pero hay otros activos en el gráfico (MAP, ZEL,FRS, EADS,JAZ) que podemos considerar para disminuir el riesgo de nuestra cartera . Considerar estos activos nos ayudará ha encontrar una combinación de 5 activos que tenga rentabilidad esperada similar que la cartera inicial de 5 activos pero con menos riesgo.

Sobre billetes de 20 dólares y calles transitadas...

2007-10-14T18:56:00.001+02:00

"En su base, la teoría económica descansa en dos observaciones: las oportunidades de beneficio obvias raramente se dejan sin explotar, y las cosas cuadran. O tal como digo a veces, un billete de veinte dólares no permanece en el suelo de una calle transitada mucho tiempo, y cada venta es también una compra." Paul Krugman*.

La frase anterior introduce uno de los principios que sustentan la economía financiera: el principio de ausencia de arbitraje. Y que lo que muchas se presenta de forma tan compleja, sin embargo, se sustenta en sencillos principios guiados por el sentido común.

Arbitraje supone buscar descompensaciones en los precios y aprovecharlas. Se trata de comprar barato y vender caro. ¿Es razonable el principio de ausencia de arbitraje? Yo creo que si. Habrá oportunidades de arbitraje pero desaparecerán tan rápido como el billete (la bolsa está tan saturada de gente como una calle transitada).

La valoración basada en ausencia de arbitraje y su herramienta, la replicación de pagos futuros a través de carteras de activos existentes en el mercado, ha revolucionado la forma de pensar de los economistas modernos. Sin ellas estaríamos utilizando para analizar los mercados financieros las mismas técnicas que un mercado de bienes (oferta/demanda).

Veamos un sencillo ejemplo de cómo aplicar este principio en la valoración de un futuro.

Consideremos un futuro sobre BBVA que vence el 21 de diciembre (T = 0.19) sobre Endesa que (para simplificar) no da dividendo. El tipo sin riesgo es el 4% , el precio a contado de BBVA es 17,54 euros.

Primer paso. Utilizamos la herramienta antes mencionada (replicar flujos). Para replicar el pago de un futuro utilizamos dos activos: un préstamo y una acción. Vamos al banco y pedimos un préstamo a devolver el día 21 de diciembre por un importe de 17.54 euros. Con ese dinero compramos 1 acción de BBVA.

El 21 de diciembre devolveré el principal y pagaré los intereses.

Total a pagar en diciembre = 17,54 * (1 + 4%)^0,19= 17.67 euros

La idea es que yo quiero tener una acción de BBVA el día 21 de diciembre. Puedo comprar un contrato de futuros en MEFF (que me da derecho a tenerla ese día) o ir al banco, pedir el préstamo, comprarla hoy y guardarla hasta el día 21 de diciembre. Por lo tanto, un préstamo más una acción replica el pago del futuro (una acción en diciembre).

¿Cuánto me cuesta esto? Lo que me costó la acción hoy, más los intereses que pago hasta diciembre (total 17.67 euros).

Segundo paso. Aplicación del supuesto de NO arbitraje. Pagando 17.67, obtengo una acción el 21 de diciembre. Si compro un futuro hoy obtendré lo mismo (la acción). ¿Cuanto valdrá el futuro? Evidentemente 17,67. Algo que paga lo mismo a vencimiento debe valer hoy lo mismo. En otro caso podría arbitrar. ¿Es razonable este supuesto de no arbitraje? ¿Debe valer 17,67 el futuro?

Supongamos que en MEFF el futuro cotiza a 18 euros. Vamos a MEFF y vendemos un futuro sobre BBVA que nos obliga a entregar una acción de BBVA. Como antes pedimos el préstamo y compramos la acción que entregaremos el 21 de diciembre.

A vencimiento entregaremos la acción comprada, cobraremos los 18 euros y pagamos los 17.67 (préstamo + intereses) . Beneficio= 18-17.67 = 0.33 euros obtenidos sin desembolsar nada y sin riesgo (recuerde que no ha puesto un duro ya que pedimos un préstamo) . ¿Cuanto duraría esta situación en MEFF? Muy poco tiempo. Luego es de suponer que el principio de ausencia de arbitraje se cumpla y valga lo mismo comprar una acción hoy y tenerla hasta diciembre, que comprar el futuro hoy.

Un supuesto tan sencillo como el de No arbitraje nos ha proporcionado un precio para el futuro sobre el BBVA que podremos comparar con la información que aparece en MEFF.

*Paul Krugman es uno de los economistas más reconocidos académicamente, y uno de los más célebres gracias a su intensa actividad publicística y divulgativa desde las páginas del New York Times. Colaboró con el grupo de asesores de economía del Presidente Clinton.

Volatilidad Implícita vs Volatilidad real.

2007-10-03T23:48:00.001+02:00

Lo que nos crea problemas no es lo que sabemos. Es lo que sabemos con certeza y no es así. (Mark Twain).

En el comentario anterior he introducido la necesidad de medir la volatilidad, las dificultades que nos plantea que sea inobservable y algunos de los métodos empleados para su estimación.

Vimos como hay dos métodos de estimación: en base a datos históricos y extrayendo información sobre la volatilidad del mercado (volatilidad implícita).

Si tu bróker te dice que la volatilidad histórica del IBEX en los últimos seis meses ha sido del 17% esto significa que la desviación típica de los rendimientos del IBEX calculada con datos diarios o semanales de ese período es del 17%.

La volatilidad implícita (VI) es otra clase de volatilidad que no es calculada estadísticamente sino inferida del precio de una opción u opciones que se negocian en el mercado. Como ya hemos reiterado la volatilidad no es observable en el mercado pero el precio de la opciones si lo es.

Pero como siempre, para obtener una medida de la VI necesitaremos alguna clase de formula matemática o ecuación que nos de la medida a partir del precio de las opciones . Esta formula no es otra que la conocida como Black-Scholes.

La interpretación más común de la volatilidad implícita (VI) es que representa “una previsión del mercado sobre el valor futuro de la volatilidad (es decir, sobre las verdaderas fluctuaciones de los mercados)”. Muchas personas, entidades y publicaciones toman esto como un dogma de fe.

La previsión de volatilidad así obtenida tiene un horizonte temporal que transcurre desde el momento en que la calculamos hasta el vencimiento de la opción. Por ejemplo, una opción sobre el futuro del IBEX con vencimiento en diciembre que tenga una VI del 17% nos dice que las fluctuaciones diarias del IBEX 35 durante ese plazo estarán en torno al 17%.

Una de las volatilidades implícitas VI más utilizadas es la que ofrece el índice VIX, que diariamente es tomada como referencia por muchos inversores. El índice VIX mide la volatilidad del S&P 500. Desgraciadamente no hay todavía un VIX del IBEX35. Este índice, a pesar de estar referenciado al principal índice norteamericano, se toma como una referencia global de la volatilidad de los mercados.

La volatilidad implícita (VI) se calcula a partir de una o varias opciones Call y Put "At The Money" (ATM) que coticen en el mercado. ¿Porque ATM? Porque son las más sensibles a la volatilidad.

Conocemos el tiempo que le falta a la opción para su vencimiento, el tipo de interés sin riesgo (p. ej. Euribor 1 año), los dividendos que da el subyacente (p. ej. Telefónica), el precio del activo subyacente, el strike y el precio de la opción en el mercado. Pues bien, si insertamos todos esos datos en la fórmula de Black-Scholes obtendremos la volatilidad implícita (VI) que buscamos. En otras palabras, para obtener el precio de la opción, la volatilidad que debemos meter en nuestra calculadora tiene que ser del 17% por ciento.

El cálculo se hace mediante una iteración, ya que, no es posible invertir la fórmula de Black Scholes. No nos vamos a detener en la forma de cálculo, ya que, hay un montón de programas que la calculan.

Vamos a ver un ejemplo tomando de MEFF los datos referentes a las opciones sobre el futuro del IBEX 35. La volatilidad implícita calculada nos daría una estimación de las fluctuaciones del mercado español.

Tomamos las opciones con vencimiento noviembre 2007 y calculamos las VI. Llama la atención que el mismo activo (IBEX 35) tiene diferentes volatilidades. Como se ve en el gráfico hemos obtenido volatilidades desde un 25% hasta un 17%. Esto, evidentemente, no puede ser. Dado que la volatilidad es una característica del IBEX todas las opciones sobre este activo deberían tener la misma VI. Este efecto recibe el nombre de sonrisa de la volatilidad y nos ayuda a ilustrar que la estimación de la volatilidad implícita (VI) plantea algunos problemas.

La fórmula BS utiliza la volatilidad tal que K/S es igual a 1. Esta volatilidad es del 19,75%. Las put fuera de dinero ( K/S<1) están siendo sobrevaloradas y al contrario las opciones call fuera de dinero (K/S>1) son infravaloradas respecto a BS. Una interpretación habitual a este fenómeno es que los operadores pueden estar anticipando grandes caídas. La put paga cuando el mercado cae luego estará cara y la call paga cuando el mercado sube luego estará barata ( pensando en un mercado a la baja).

¿Porque obtenemos volatilidades distintas sobre el mismo activo? La volatilidad implícita (VI) al igual que una máquina de salchichas, es un número alimentado con un montón de (y muchas veces desconocidos) ingredientes diferentes. Confundir la volatilidad implícita con la previsión de los traders para la volatilidad del mercado es parecido a confundir la salchicha entera con uno de sus ingredientes.

Los traders no obtienen el precio deseado cuando valoran las opciones con sus calculadoras Black-Scholes, y por lo tanto, además de sus expectativas sobre las futuras turbulencias van introduciendo otras cosas que afectan al precio de la opción y que se incluirán en la volatilidad implícita. Utilizan la volatilidad implícita, aumentándola o disminuyéndola, para ajustar el precio de la opción (un ejemplo de esto son los warrants).

Esto produce que, lamentablemente, la volatilidad implícita (VI) no sea un reflejo (solo) de las próximas fluctuaciones del mercado. Aunque la volatilidad implícita se asocia a la visión de los traders sobre el futuro de la volatilidad, esto es sólo uno de sus ingredientes. La volatilidad implícita es bastante más.

Hay que tener cuidado. Una mayor/menor volatilidad implícita no implica automáticamente que los traders estén esperando más/menos movimiento en el mercado. Un alto nivel de volatilidad implícita podría implicar la percepción de una alta volatilidad futura real, pero probablemente también refleja una serie de otros factores como: problemas de liquidez en las opciones negociadas, distorsiones en precio y volatilidad por comisiones de compra venta, miedos infundados a caídas fuertes, soportes y resistencias en los subyacentes, efectos de apalancamientos excesivos, problemas de oferta y demanda como diferencias bid/ask muy grandes...

La volatilidad implícita (VI) es inflada como una forma para corregir la deficiencias derivadas de los supuestos del modelo Black-Scholes (colas gordas en las distribuciones de los subyacentes), que al estar basado en el supuesto de normalidad asigna poca probabilidad a los movimientos extremos e los activos.

Tampoco podemos olvidar que se producen actuaciones deshonestas (véase lo que ocurre con los warrants) que pueden alterar la VI.

Una mejor definición de volatilidad implícita (VI) podría decir que es el instrumento que permite a los traders obtener los precios de las opciones considerados como óptimos, corrigiendo aspectos no capturados por el modelo Black-Scholes.

En definitiva, la volatilidad implícita real siempre será un componente clave de la volatilidad implícita, posiblemente el más importante, pero nunca la totalidad.

Referencias:
Volatility Is Not Volatility. Pablo Triana's Blog.
Options, Futures, and Other Derivatives, Sixth Edition, John Hull.
Cotizaciones Meff, futuro IBEX 35

¿Cómo mido la volatilidad? La volatilidad realizada.

2007-09-20T14:11:00.001+02:00

La volatilidad es una medida de la intensidad con que fluctúan los precios de los activos financieros. Debe tener claro que la volatilidad es una construcción teórica. La volatilidad, al contrario que las cotizaciones de los activos, no está determinada por una operación de compra/venta. No es observable. En caso de que alguien nos la facilite, sea consciente de que es NO un dato real, es una estimación realizada por alguien.

Pongamos, como ejemplo, el lanzamiento de un dado. Usted puede observar cada una de las realizaciones que se vayan produciendo {1,2,3,4,5,6}, pero no podrá observar la tendencia del dado a producir resultados extremos {1,6}. Si lanzamos mucha veces el dado podremos estimar esa tendencia a producir esos resultados extremos.

Con la volatilidad ocurre algo similar. Uno observa los precios y los rendimientos pero no su tendencia a salir resultados extremos. Además, la situación ahora es poco alentadora. Al contrario de lo que ocurre con el dado, recopilar muchos datos, en muchas ocasiones, no mejora la estimación. La volatilidad cambia en el tiempo. Los datos de los últimos meses pueden que tengan poco que ver con las fluctuaciones que se producen en este momento.

El hecho de que sea inobservable a simple vista parece poco relevante pero nos plantea algunos problemas. Por ejemplo ¿ Cual ha sido la volatilidad que tuvo ayer mi fondo? ¿Con que dato real debo comparar las predicciones de mi modelo de volatilidad para ver el grado de acierto? Para responder a estas y otras preguntas va a tener que realizar algún calculo.

Lo mismo que utilizamos series de precios cuando queremos establecer tendencias o simplemente para ver la evolución del activo, sería deseable disponer de datos históricos de volatilidad. Al igual que tenemos precios históricos vamos a tener lo que llamaremos volatilidad realizada (una serie de valores de la volatilidad para cada momento t).

Hay varios métodos de cálculo que se vuelven más complejos a medida que intentan capturar mejor lo que ocurre en la realidad. Aquí se presentan algunos.

Para ver un ejemplo vamos he tomado al azar unos de los fondos de la cartera virtual de Alfonso Ballesteros. He bajado los valores liquidativos diarios de un año del fondo "Fidelity Funds - Iberia Fund E Acc" y he calculado los rendimientos diarios del último año.

El gráfico siguiente muestra los cambios en el valor del fondo durante el período noviembre agosto 2006 a septiembre 2007. Se aprecia algo que sufrimos en la realidad, que la volatilidad no es constante. Hay claramente períodos de pequeñas fluctuaciones (por ejemplo diciembre 2006) y los períodos de grandes fluctuaciones (por ejemplo septiembre 2007). Este fenómeno es conocido como agrupación de volatilidad, y es el objeto de una gran cantidad de investigación en economía financiera.

Además de este fenómeno los modelos intentan capturar otros efectos como el apalancamiento o aumento de la volatilidad cuando hay caídas de precios o distribuciones de rendimientos más apuntadas y con colas más gruesas que la normal como ocurre con este fondo. En el gráfico, en rojo, la distribución normal y en azul los valores reales del fondo claramente más apuntados...

Hay dos maneras de obtener una medidas de la volatilidad:

1) En base a datos históricos. Utilizamos para ello series históricas de los rendimientos del activo.

a) La volatilidad histórica o desviación típica de los rendimientos. Muy popular debido a su facilidad de cálculo. Como hemos dicho la volatilidad cambia en el tiempo y la desviación típica es una constante. Esto supone un seria desventaja que se ha intentado superar mediante el uso de ventanas muestrales. Son submuestras cortas, cada una se obtiene de la anterior añadiendo un último dato y eliminando el primero. Sobre cada una de ellas se calcula la desviación típica. En el gráfico os presento un ejemplo realizado con la serie del fondo con una ventana muestral de 5 datos.

Mientras que la desviación típica diaria del fondo es del 0.85% (conocida como volatilidad histórica), la desviación el día 1 de septiembre del 2007 es del 3.5%. La volatilidad histórica sin ventanas (0.85%) parece que se desvía mucho...

b) Suavizado exponencial. Muy extendido entre operadores del mercado. Consiste en una media ponderada. Mientras que la desviación típica asigna a cada dato la misma importancia, el suavizado exponencial da más peso a las observaciones más recientes. Un ejemplo muy difundido de suavizado exponencial lo constituye la información sobre volatilidad de activos elaborada por JP Morgan para valoración probabilística del riesgo de mercado (Riskmetrics™ Dataset).

c) Modelos tipo GARCH. Modelos fuertemente impulsados en los últimos años. Necesitan la especificación de la función de densidad. Normalmente se usa la normal aunque también se utilizan la distribución t de Student o las mixturas de normales. Estos modelos son más eficientes puesto que utilizan la información del período previo para calcular el dato siguiente.

d) Variación cuadrática. Suma de los rendimientos al cuadrado. Se utiliza con datos intradía.

2) En base a información de mercado.

Volatilidad implícita. Extraer información sobre la volatilidad del mercado de opciones. Es la volatilidad que hace que el precio de una opción, que da el modelo BS, sea igual al precio de mercado. Necesitamos que existan derivados para el subyacente. En el caso de este fondo, evidentemente, no los hay.

¿Cual deberíamos utilizar? Dependerá de los objetivos y de los datos disponibles. Si dispone de datos intradía la medida mas precisa de la volatilidad realizada es la basada en la suma de los rendimientos tick a tick al cuadrado. Si disponemos de datos diarios como es el caso de nuestro fondo las volatilidades tipo GARCH o media móvil son una buena alternativa. En todo caso, no utilice una sola medida de riesgo.

Si disponéis de series históricas os animo a calcular la volatilidad de vuestros fondos y otros activos mediante alguno de los métodos anteriores. Os darán una idea mucho más precisa de las fluctuaciones del activo que la que os muestra la desviación típica.

Cassandra

2007-09-12T17:13:00.001+02:00

Ismael Serrano tiene un nuevo disco “Sueños de un hombre despierto". El título del álbum está inspirado en una famosa frase de Aristóteles : "La esperanza es el sueño de los hombres despiertos".

El primer sencillo es el tema titulado Cassandra, una melodía centrada en un personaje de la mitología griega del mismo nombre. Cassandra fue sacerdotisa de Apolo, con quien pactó, a cambio de un encuentro carnal, la concesión del don de la profecía.

" Nadie creyó en Casandra y sus visiones,
Y la gente sólo vio en su augurio delirio y locura.
La condenaron a vagar perdida y sola,
Herejía es mostrar la verdad descarnada y desnuda
Abandonada tras los años la encontró,
Un muchacho que andaba buscando esperanza y respuestas,
Casandra hablo con pasión de sus presagios,
Y de la luz del amanecer brillando tras la puerta,
Creo en ti Casandra no estas loca, se besaron y en su boca.
Florecieron madreselvas, dulce Casandra
ponte de pié, yo te he conocido antes, quizás te soñé.
Hay quien duda y hay cree en la leyenda, juntos buscarán la puerta.
Dulce mañana, yo no sé tú, yo creo en Casandra."

Observo con preocupación como algunos analistas y periodistas parece que se han pasado de la predicción a la profecía a la vista de algunas de las predicciones y recomendaciones "sólidamente fundamentadas" que nos regalan.

Quiero recordar que " hay una diferencia entre profecía y predicción: Una predicción es una afirmación que se utiliza para reforzar una teoría de acuerdo a un proceso lógico, mientras que una profecía no está ligada a un razonamiento en la previsión del resultado predicho." Wikipedia

Euríbor, sector inmobiliario, aumento de la morosidad, serios problemas en el mercado interbancario, dudas sobre la solidez de algunas entidades financieras. La lista es interminable. Puede ver algunos datos concretos en "Las 100 claves de la burbuja" como que "hace tres años los bancos y cajas españoles significaban el 80% de la titulación hipotecaria de Europa. Hoy, analistas como Edwin van Lumich de Fitch Ratings advierten que nadie quiere comprar esos valores y el hecho más grave es que el ciclo crediticio expansivo ha finalizado y no se sabe hasta cuando" o "varias entidades financieras están comenzando a sacar a la venta parte de sus carteras de deuda hipotecaria ante el temor de un aumento de la morosidad en el sector". Estamos en un escenario de mucha incertidumbre donde se aconseja la prudencia.

A continuación leo en un blog …"El castigo bursátil que sufren los bancos dará buenas oportunidades de inversión"." La solvencia del sector bancario no se puede poner en tela de juicio". "El 15.000 no es la meta, es un apeadero". Pues nada… hay que aprovechar las caídas para comprar. Reconozco que me desconciertan...

A mi me parecen mas profecías que predicciones con base sólida. El problema es que ellos no son Cassandra, no tienen el don…

*Para abundar más sobre este tema ver el post "Dejo de comprar prensa financiera" de especulacion.org

Experimentos Monte Carlo. La importancia (relativa) del gestor de fondos.

2007-09-06T11:50:00.001+02:00

La figura del gestor y de su equipo es uno de los elementos que más se tienen en cuenta a la hora de elegir un fondo. ¿Pero es tan importante? ¿Determina la suerte los historiales de los gestores de fondos? ¿ Están los rendimientos de los fondos determinados por estilos, estrategias de inversión o el azar tiene algo que ver en todo esto? Mi intuición me dice que hay algo más que ingeniería financiera detrás. Creo que el azar está oculto detrás de las trayectorias de más éxito. En este post me propongo demostrarlo.

En el experimento que vamos a realizar, vamos a crear 150 gestoras (creo que son las que más o menos hay en España) que gestionarán un fondo cuyas características (de rentabilidad y riesgo) las fijaremos nosotros.

Para hacer la simulación pensamos en los fondos como carteras de activos con diferentes ponderaciones. En este caso, en nuestro modelo simplificado (más que suficiente para lo que vamos a demostrar aquí) podemos pensar en el fondo como una cartera de activos equiponderados modelizados cada uno de ellos mediante un Movimiento Browniano Geométrico (MBG) y debidamente correlados. Consideramos que los fondos mantienen ese mismo comportamiento.

Experimento 1. Ponemos a nuestras gestoras a trabajar durante 5 años.

Al comienzo de cada semana cada gestor deberá optar por un estilo de inversión y unos activos determinados. En nuestro simulador vamos a recrear esta situación y lo que ocurre en cada caso. Sortearemos un número aleatorio (uniforme) entre 0 y 1. Si sale un número menor o igual que 0.5 el gestor acierta y si es mayor que 0.5 falla. Esto implica que tiene (al igual que con la moneda) un 50% de probabilidad de acertar en sus inversiones y un 50% de equivocarse.

Cuando acierta en la elección obtiene una rentabilidad del 18% (en media, no somos adivinos...) y cuando falla le ponemos un (- 10%). Para ello deberá asumir riesgos. La volatilidad de los aciertos será del 20% y de un 30% la de los fallos, por aquello de que en las caídas siempre hay más volatilidad.

Queda claro, que tanto acertar o fracasar en la gestión del fondo así como la cuantía que obtienes si aciertas o fracasas, dependen totalmente del azar (queremos que sea así expresamente). Además, si la gestora no cumple con el objetivo de rentabilidad anual que le fijemos ( un 3% anual) seremos implacables: despedidos y se van al paro (los eliminamos de la muestra).

Características de nuestros fondos:

La probabilidad de acertar es del 50%, la probabilidad de fallo es del 50%.
Los aciertos se distribuyen como una Normal de media 18% y varianza del 20%^2.
Los fallos se distribuyen como una Normal de media -10% y varianza del 30%^2.
La rentabilidad anual mínima exigida es un 3% . Si no consigue el 3% cada año va fuera de la muestra.
El período temporal de análisis es de 5 años.

Realizamos una simulación. La primera semana lanzamos la moneda, si acierta la gestora obtiene 18% en media, si falla obtiene -10% en media. Así 254 semanas. Miramos las trayectorias y contamos los supervivientes.

Las sendas que se ven en el gráfico son gestoras que han sobrevivido (sus fondos han conseguido la rentabilidad mínima exigida). La mayoría no llega a la meta (142 fondos ) pero hay unas pocas trayectorias que si lo consiguen (8 concretamente). Además algunos fondos llegan al 5º año cumpliendo los objetivos de forma brillante (rendimientos del 100% o más).

Puede que piense que ha sido pura coincidencia. Que lo mismo que salen 8 podrían aparecer 80. Para salir de dudas repetimos el experimento varias veces. En concreto hacemos 1000 simulaciones. Para condensar y analizar la información elaboramos un histograma que nos muestra la distribución de supervivientes en t=5 años. A la vista de los resultados está claro que durante nuestras "1000 vidas" la mayor parte de la veces ha habido entre 2 y 10 fondos que han llegado a t=5.

Aunque repitamos el experimento 1000 veces en nuestra población de 150 gestores la mayoría no llega a t=5. Solo entre 2 y 10 fondos han llegado a la meta en cada una de nuestras 1000 simulaciones. Algunas veces han llegado 14 fondos o ninguno pero es poco significativo. El primer resultado relevante para nosotros es que el azar se las apaña para crear 8 fondos extraordinarios. Son 8 fondos que están muy por encima de la media (sin haber necesitado de largas sesiones de análisis). Recuerde que los rendimientos obtenidos en nuestro ejemplo son debidos exclusivamente al azar, ya que, así hemos diseñado el experimento.

Este resultado lo podemos aprovechar para ilustrar el punto de vista expresado en el post "Correlación vs causalidad (1): Los Simpsons" ; supongamos que a cada una de las 150 trayectorias les asignamos un nombre de un fondo que realmente exista en el mercado. Los 8 fondos "estrella" ahora tendrán un nombre. Y supongamos que le damos estos resultados a un analista experto sin decirle que esas trayectorias las hemos generado nosotros de forma totalmente aleatoria. Analizará los fondos, rebuscará en la trayectoria de la gestora, del fondo y encontrará alguna causa que justifique los altos rendimientos . Aunque no lo crea, los economistas somos capaces de encontrar hoy explicaciones para las subidas y usar esas mismas para explicaciones para justificar las bajadas un mes después.

Nos explicará con todo detalle como el estilo de gestión que han utilizado o las habilidades personales de los gestores o ambas han contribuido decisivamente en el éxito de estos fondos. Incluso nos dará (si se lo pedimos) una recomendación para el futuro (no olvide que lo hace en base a una trayectoria generada de forma aleatoria...). En definitiva, se esforzará y conseguirá crear relaciones de causalidad entre los resultados, el gestor y el fondo cuando no hay más que aleatoriedad (lanzando una moneda en el despacho).

Con esto, no quiero decir que el historial de un gestor o las trayectorias de los fondos no tengan ninguna relevancia, pero su importancia es inferior a la que se le suele conceder. Tampoco menosprecio el trabajo de los analistas. Solo quiero mostrar que no hay que tomarlo tan en serio, sobre todo cuando se trata de la bolsa, donde la aleatoriedad juega un papel tan importante.

¿Influye la gestión en la marcha de un fondo? La mayoría de las veces si pero menos de lo que desearíamos. Para que un fondo tenga éxito es necesario que el gestor haga bien los deberes pero no olvidemos que además estará sometido al azar. Puede que lo haga bien pero que la mala suerte (una crisis financiera) se lo lleve por delante o que por el contrario obtenga un grado de éxito inmerecido . Una gestión adecuada es como un billete de lotería. Es imprescindible comprar un billete de lotería si queremos que nos toque pero el hecho de tenerlo no garantiza que ganemos el premio.

¿Dónde están los fondos malos ? Como decía antes no han dado la talla (superar el mínimo exigido) y han caído por el camino. Les hemos retirado nuestra confianza y han cerrado. Volveremos más tarde sobre ellos puesto que son tan importantes o más que los "ganadores" .

Experimento 2. Supongamos que en España los gestores de fondos son personas poco eficientes ¿Se pondrá el azar de su parte? ¿Sobrevivirá alguno a nuestras exigencias?

Vamos a crear ahora 150 gestoras incompetentes o lo que es lo mismo, su rentabilidad esperada será negativa.

Características de la población de gestores poco eficientes:

La probabilidad de acertar es del 30% y la probabilidad de fallo es del 70%. Esto quiere decir que la rentabilidad esperada de los fondos es negativa:

Los aciertos se distribuyen como una N(0.18,0.20^2)
Los fallos se distribuyen como una N(-0.1,0.30^2)
La rentabilidad anual mínima exigida es un 3% . Si no consigue el 3% a final de año fuera.
Periodo temporal de análisis 5 años.

Realizamos una simulación. Como antes, otra vez, la mayoría no llega a la meta (ahora con más motivo) pero hay unas pocas trayectorias espectaculares. Algunos fondos llegan a t=5 cumpliendo los objetivos .

Hacemos 1000 simulaciones como antes. Como muestra el histograma de la distribución de supervivientes en t=5 la mayoría de las veces de nuevo hay entre 2 y 10 fondos en la meta. En este caso la realización más frecuente es 5. Observe que hay 2 fondos que casi se salen del gráfico.

Segunda conclusión relevante: una población suficiente de malos gestores produce una pequeña cantidad de fondos impresionantes. El azar (más concretamente la volatilidad) ayuda.

Volvemos con los fondos perdedores (142) , los que no llegaron a la meta. ¿Porqué son tan importantes ? Vamos a ver como el sesgo de supervivencia afecta a la elección de fondos.

Cuando invertimos en fondos solo tenemos en cuenta las trayectorias de los fondos con éxito. El efecto de esto se aprecia en nuestro experimento. Si calculamos la rentabilidad esperada solo con las trayectorias de los buenos obtendremos:

un 18% mientras que si utilizamos todos será del 4%. Lo mismo pasa con el riesgo estimado por la volatilidad. Cuidado, usar solo los fondos buenos sobrevalora la rentabilidad e infravalora el riesgo.

Otra forma de verlo. Supongamos que son 150 fondos que pertenecen a la misma gestora. Comenzaron con 150 y les quedan 8. Los demás los han abandonado a medida que se han quedado sin partícipes. Podemos llegar a la conclusión, analizando los 8 fondos que tiene, de que es una gestora estupenda cometiendo un grave error, ya que, ha fracasado 142 veces.

Este error es conocido como sesgo de supervivencia. Me fijo solo en los ganadores (supervivientes) y calculo la rentabilidad esperada de mi inversión en base a los rendimientos obtenidos por ellos cuando debería incluir también los fondos malos. Estoy utilizando la distribución del máximo en vez de la distribución de la propia variable.

¿Cómo se puede hacer un análisis con menos defectos? Calcule los riesgos y la rentabilidad esperada de la inversión utilizando una muestra significativa que incluya fondos buenos y malos de similares características. Esto le dará una idea más precisa de lo que puede perder o ganar. Y sobre todo, para el cálculo del riesgo de la inversión (volatilidad, VaR) no tome solo los fondos de éxito, incluya en la muestra los fondos de esa categoría con peores resultados.

Nota: Aunque las reflexiones que se expresan en este post están basadas en algunas de las extraordinarias ideas que ha desarrollado el matemático y financiero Nassim Nicholas Taleb, las opiniones y afirmaciones que aquí se vierten son responsabilidad exclusivamente mía. El simulador se ha desarrollado en MATLAB. Si además de comentar el post, alguien está interesado en las cuestiones técnicas de la simulación podemos comentarlas.

Estimadores y Simulación Monte Carlo.

2007-08-29T18:18:00.001+02:00

Comprar una participación de un fondo de inversión tiene riesgo puesto que los rendimientos que realmente se obtendrán no son conocidos con certeza. Entonces decimos que esos valores son una variable aleatoria. A priori no podemos conocer el valor que tomará pero si podremos calcular estimadores como la rentabilidad esperada (media ponderada) o la volatilidad (desviación típica).

Imaginemos que queremos una idea de la volatilidad de un fondo o de un activo como Telefónica antes de invertir. Lo habitual es coger los precios diarios de Telefónica, calcular los rendimientos diarios y en base a ellos la desviación típica. La desviación típica (raíz cuadrada de la varianza) es un "estimador" de la volatilidad.

En definitiva, estamos suponiendo (aunque sea de manera inconsciente) que la volatilidad histórica es una buena estimación de la volatilidad futura sin darnos cuenta que estamos confundiendo estimador con predictor.

Cuando estimamos en base a datos históricos, implícitamente, suponemos que los rendimientos del fondo o de Telefónica se distribuyen como una normal con media y varianza desconocidas. Nuestro objetivo es buscar predictores para ambas pero lo que realmente obtenemos son estimadores. Hacemos los cálculos y obtenemos ambas magnitudes. Hemos caracterizado los rendimientos históricos. ¿Hemos realizado alguna predicción? No.

Un predictor implica retrasos. Por ejemplo, la volatilidad de mañana es la de hoy más lo que ocurra mañana. Algo así como:

Siendo conscientes de esta y otras limitaciones (ya las iremos viendo), vamos a admitir que la volatilidad histórica es un referente adecuado acerca de lo que nos depara el futuro. ¿ Podemos tomar decisiones adecuadas en base a la volatilidad? ¿Se puede decidir adecuadamente en base a la información que nos ofrece un solo número?

Aquí entra la simulación Monte Carlo (en adelante "MC"). MC consiste en repetir muchas veces un cierto experimento aleatorio ( por ej. la evolución de Telefónica) y realizar medidas estadísticas para tomar decisiones. Mediante MC vamos a poder generar miles de sendas de la variable.

Pongamos un ejemplo de cómo aplicar MC a una situación ficticia. Queremos analizar nuestra inversión en Telefónica. Cuando la realizamos estimamos que tenía una rentabilidad esperada del 10% y volatilidad 25% estimada en función de su trayectoria histórica ajustada mas unos comentarios que un amigo me hizo comiendo el otro día y los de una asesor de los que salen en Bloomberg TV.

Aquí podemos ver precios diarios de Telefónica los 3 últimos años.

Ahora simulamos 100 trayectorias de evolución utilizando Monte Carlo. Antes teníamos una sola senda. Ahora cada línea representa una senda posible del activo:

Llama la atención que hay trayectorias (historias alternativas) muy positivas pero también las hay muy negativas para nuestra cartera. Veo que hay una trayectoria que ha llegado hasta 40 euros pero también hay bastantes en torno a 10 euros.

Ahora pienso que la decisión de invertir en Telefónica basada en el resultado "esperado" (un 10%) y la volatilidad del 25% no ha sido tan buena. Tal vez nunca la habría tomado si hubiera tenido una idea más completa de todos los posibles resultados (puedo llegar a perder 8 euros por acción). Véase la Regla 8 - Nunca cruce un río que "en media" tenga 1,5 m de profundidad.

Podemos ver la simulación MC como algo complementario. Ahora no estamos prediciendo, solo estamos simulando. El ejercicio de predicción se realizó al calcular la volatilidad esperada (más precisamente su estimador).

Simulemos de nuevo pero esta vez con una volatilidad del 30%. Aparecen sendas con valores de 8 euros lo que representa unas pérdidas de 10 euros. Aumentar un 5% la volatilidad ha tenido importantes consecuencias. MC me permite percibir con mayor claridad el efecto del incremento de la volatilidad en mi inversión.

¿Qué otras ventajas tiene utilizar MC? Como hemos visto, una ventaja es que Monte Carlo genera una imagen de los posibles resultados. Otra ventaja es que ahora tenemos un montón de sendas en base a la cuales podemos calcular algunos estadísticos complementarios, además de rentabilidad y volatilidad, que nos permitan decidir mejor como el VaR, la pérdida máxima, el drawdown (potencial de caída o valor máximo que toma el VaR durante el año) , etc.

Como podemos intuir, la simulación Monte Carlo convierte el ordenador en un potente laboratorio de simulación. Usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas o empíricas podemos resolver muchos problemas relacionados con el azar donde el tiempo juega un papel importante.

En este ejemplo se ha utilizado la distribución normal pero hay metodologías que permiten ajustar distribuciones a los datos empíricos, como las mixturas de normales, y generar trayectorias con mucha mayor precisión. Pero eso ya es otra historia...

Nota técnica : Para las simulaciones anteriores se ha utilizado un Movimiento Browniano Geométrico tal que:

Donde S(t) es el precio simulado. dS es el incremento del precio simulado. r es el tipo interés sin riesgo o deriva del proceso. dt es el salto de tiempo al que se simula. sigma es la volatilidad del activo. dWt es un movimiento browniano o parte aleatoria del proceso. Un incremento del valor de S (Telefónica) es igual a la suma de la tendencia:

más la variabilidad representada por:

Después de cierto trabajo matemático se obtiene la solución de la ecuación diferencial anterior:

Con esta ecuación ya podemos simular. La simulación de las trayectorias se puede realizar programando en Excel o Matlab:

Adelantarse al mercado...

2007-08-28T15:27:00.001+02:00

"algunas personas son capaces de adelantarse al mercado, y de hecho lo hacen. No es cuestión de suerte. Muchos académicos están de acuerdo, pero aseguran que la forma de adelantarse al mercado no es un acto de suprema clarividencia, sino de asumir mayor riesgo. El riesgo, y nada más que el riesgo, determina el grado en que los rendimientos están o por encima o por debajo de la media, y por tanto, decide la valoración de todas las acciones en relación con el mercado..."
Un paseo aleatorio por Wall Street. Burton G. Malkiel

Sabiduría convencional

2007-08-07T18:07:00.001+02:00

“Hay gente que prefiere obtener pobres resultados con políticas dentro de la sabiduría convencional, a tener mejores resultados contrariando la sabiduría convencional”. John Maynard Keynes…

El término sabiduría convencional fue acuñado originalmente por Keynes. Posteriormente, el economista John Kenneth Galbraith desarrolló este concepto en su libro "La Sociedad Opulenta
(1958)".

La sabiduría convencional engloba ideas, conceptos, explicaciones que están generalmente aceptados como verdades por el público aunque puedan ser falsos. Se introducen con facilidad puesto que son ideas que expresan algo que es agradable al público.

"Asociamos en gran medida, naturalmente, la verdad con la conveniencia -con lo que se muestre más de acuerdo con el interés propio y el bienestar del individuo u ofrezca la posibilidad de evitar más fácilmente un esfuerzo molesto o los poco gratos trastornos de la vida. También hallamos bastante aceptable lo que favorece la propia vanidad." Galbraith. (Editorial Crítica ,2002). Selección de artículos realizada por Andrea D. Williams.

Al ser conceptos o ideas indiscutibles, a menudo se convierte en un obstáculo a introducir las nuevas teorías o explicaciones. La sabiduría convencional actúa de manera análoga a la inercia, oponiendo la introducción de la creencia contraria, a veces hasta el punto de la negación absurda de la nueva información.

La sabiduría convencional está muy arraigada en la política. Se origina frecuentemente en los mensajes incluidos en las declaraciones de los políticos, que enfatizan y repiten hasta que se convierten en sabiduría convencional sin importar si son o no son verdades.

John K. Galbraith (1908-2006). Entre las obras de este gran economista podemos citar El nuevo estado industrial (Ariel, 1984), La sociedad opulenta (Ariel, 1992), Una sociedad mejor (Crítica, 1996), El crac del 29 (Ariel, 2000) y Con nombre propio (Crítica, 2000), La economía del fraude inocente: la verdad de nuestro tiempo (Crítica,2004)...

Sicko

2007-08-07T18:06:00.001+02:00

Sicko es un impactante documental que ha realizado Michael Moore sobre el sistema sanitario de EEUU. Es una muestra más de los graves problemas que puede producir el sistema capitalista si se deja en manos de las empresas privadas la provisión de determinados servicios básicos como la sanidad.
A los que me acusen de intervencionista (que los habrá) solo decirles que no se rasguen las vestiduras. Me fastidia su doble moral. Los mercados financieros y los que se manejan en ellos son muy peculiares en este sentido. Les molesta cualquier injerencia de los gobiernos pero están convencidos de que si la cosa se pone fea las autoridades intervendrán.
Uno de los grandes defectos del sistema capitalista en la actualidad es que ha permitido que el mecanismo de mercado y el afán de lucro penetren en áreas de actividad que no le corresponden.
Espero que el documental sirva para que muchos defensores del "mercado", sobre todo en las filas de la izquierda, reflexionen y pongan en la balanza las bondades y los perjuicios de la privatización de servicios públicos, obsesionados en obtener los más altos grados de "eficiencia".Yo personalmente creo que todo tiene un límite y que en concreto, en lo que respecta a la sanidad en EEUU lo han sobrepasado unos cuantos kilómetros.
¿A qué viene poner este documental en el blog? Viene a que este país es una copia de EEUU. Les copiamos todo. Desde el sistema económico hasta los programas de TV pasando por los valores, creencias, fiestas, etc... Así que veo lo que pasa allí y me acojono...
La reacción del gobierno americano no se ha hecho esperar y Michael Moore está siendo investigado por la visita que hizo a Cuba cuando estaba haciendo el documental. Si quieres verlo vete a documentales.com.es. Está en ingles con subtítulos en castellano.

Correlación no es causalidad. Los Simpsons

2007-08-07T11:35:00.002+02:00

El Principio de Causalidad postula que todo efecto -todo evento- debe tener siempre una causa. Homer nos da una lección al respecto...
Los Simpsons, episodio “Mucho Apu y pocas nueces”. Ned Flanders ve un oso y se choca contra un árbol. La ciudad de Springfield invierte millones de dólares para crear una "patrulla anti-osos".

Homer: Ni un oso a la vista. ¡La "oso-patrulla” funciona de maravilla!

Lisa: Especioso razonamiento, Papá.

Homer [sin entender lo que dice Lisa]: Gracias, hija.

Lisa: Usando tu lógica, yo puedo afirmar que esta piedra ahuyenta a los tigres.

Homer: Hummm, ¿y cómo funciona?

Lisa: No funciona (…pausa…). ¡No es más que una estúpida piedra!

Homer: Ajá.

Lisa: Pero no veo ningún tigre alrededor, ¿y tú?

Homer: (… pausa…) Lisa, quiero comprar tu piedra.

La fragilidad del argumento de Homer está en que no hay evidencia de que una cosa necesariamente esté causada por la otra. No se puede afirmar que la patrulla haya causado la ausencia de osos.

Encontrar relaciones de causalidad es una tarea que mantiene ocupadas a millones de personas (sobre todo en finanzas). Nosotros mismos, cada día, establecemos un montón de relaciones de causalidad casi sin darnos cuenta. Por ejemplo, ”La gasolina ha subido porque ha subido el petróleo”.

Aunque lo olvidemos constantemente, encontrar y probar relaciones de causalidad entre variables, es más difícil de lo que parece. Muchas veces apreciamos relación y/o causalidad entre variables cuando no la hay. El simple hecho de que dos cosas estén relacionadas no implica que una sea la causa de la otra.

Además, aunque exista relación entre dos acontecimientos, no podemos determinar cual de ellos provocó el otro. Correlación significa una relación entre dos cosas, pero no explica el sentido de esa relación.

Científicos y seudocientíficos armados con potentes ordenadores escudriñan los datos buscando relaciones en casi cualquier campo. De ser capaces de encontrarlas, nos permitirán explicar acontecimientos ocurridos, y más importante, anticipar en cierta medida el futuro.

Muchos pueden pensar que encontrar esas relaciones es un reto intelectual. No lo crea. Es algo inherente a nuestra naturaleza lo que nos impulsa a encontrar explicaciones o a ver causalidad en casi todo. Queremos reducir la aleatoriedad de nuestro entorno.

La aleatoriedad implica falta de control sobre lo que ocurre a nuestro alrededor, significa un futuro lleno de incertidumbres y nos provoca ansiedad. Buscamos explicaciones a las cosas porque nos da seguridad.

Solo en determinadas ocasiones el azar se muestra como eficaz aliado. Una de ellas, explicar el fracaso. Si hacemos algo bien será debido a nuestras capacidades, si fracasamos habrá sido cosa de la mala suerte, factores impredecibles, sucesos que escapan a nuestro control. Recuerde... nadie acepta el azar para explicar su propio éxito, solo el fracaso.

Anticipo que soy bastante escéptico respecto a la posibilidad establecer relaciones con cierta consistencia y que los comentarios que iré presentando están en esa línea. Tengo tremendas dudas respecto a la posibilidad de afirmar algo con rotundidad, y más aún, en la capacidad de obtener conclusiones simplemente en base la observación de hechos empíricos.

Wikipedia, Correlation does not imply causation, relación espuría.

Conocer y controlar los riesgos financieros

2007-08-07T11:14:00.001+02:00

Invertir en bolsa tiene riesgo. Nuestra historia reciente está llena de numerosos períodos de inestabilidad y crisis financieras que han producido grandes pérdidas.

No hay nada reprochable en que una persona que asume riesgos tenga un contratiempo y pierda dinero, siempre que uno sea consciente del riesgo que está asumiendo.

Lo que es intolerable es que muchas veces, mal asesorados, asumamos riesgos inadmisibles porque el comercial solo hace hincapié en la estupenda rentabilidad que podemos obtener. Por lo tanto, antes de invertir nuestro dinero es imprescindible conocer y cuantificar los riesgos que asumimos, tener una idea del dinero que podemos perder.

La medición cuantitativa del riesgo nos permitirá aproximar y obtener una medida numérica del impacto en nuestra inversión de las variaciones negativas en los activos que la conforman y cual es la probabilidad de que se produzcan dichas variaciones. Pero esta, es una medición estadística que debemos usar con prudencia, ya que, tiene importantes limitaciones (sobre todo relacionadas con la hipótesis de normalidad).

Lo habitual es suponer movimientos normales de mercado (usar la distribución normal) y utilizar como medida de riesgo la volatilidad (la desviación estándar de los rendimientos de la cartera) y últimamente el VaR (máxima pérdida esperada que se podría sufrir en condiciones normales de mercado en un período de tiempo y con un cierto nivel de probabilidad o de confianza).

Pero, en muchas ocasiones los mercados no se comportan racionalmente. En esos casos se producen movimientos extremos que las medidas convencionales de riesgo no pueden capturar adecuadamente y las pérdidas calculadas según el VaR se sobrepasan. En el fondo el problema es que la hipótesis de normalidad no se cumple y la distribución normal es inadecuada para modelar la evolución de las rendimientos de la mayoría de los activos financieros al no capturar bien los valores extremos.

Entre las medidas que podemos adoptar para soluciones a este problema están la utilización de técnicas más sofisticadas de medición (capturará mejor esos movimientos extremos) y/o seguir reglas como las que nos propone Nassim Nicholas Taleb que nos ayudarán a conservar más tiempo nuestros ahorros.

Regla 1 - No invierta en mercados y/o productos que no entienda.

Regla 2 - El próximo suceso que dañará su inversión no se parecerá al último que le afectó. No escuche el consenso en cuanto en donde están los riesgos (es decir los riesgos demostrados por el VAR). Lo qué lastimará su cartera será aquello que menos tenga en cuenta.

Regla 3 - Crea la mitad de lo que lea y nada de lo que oye (sobre todo en la TV). Nunca estudie una teoría antes de observar y reflexionar por si mismo. Un estudio realizado con métodos cuantitativos de bajo nivel le robará su intuición.

Regla 4 - Tenga precaución con los asesores o gestores que obtienen rendimientos positivos de manera constante. El éxito les induce a tomar un riesgo cada vez mayor y a sufrir caídas bruscas. Los gestores con pérdidas frecuentes podrán lastimarle, pero no es probable que destruyan la totalidad de su patrimonio.

Regla 5 - Los mercados seguirán la trayectoria que haga fracasar el número más alto de coberturas. La mejor cobertura es esa, en la que usted, es el único posicionado.

Regla 6 - No deje de observar los cambios de precios de los activos que negocie (pero no se obsesione). Usted construirá una intuición que tendrá más de alcance que estadística convencional. Si puede, no deje sus inversiones en mano de gestores. Obtenga de ellos la información necesaria para invertir pero decida usted mismo.

Regla 7 - El error de inferencia más grande: "este acontecimiento nunca sucede en mi mercado". La mayor parte de lo qué nunca sucedió antes en un mercado ha sucedido ya en otro. El hecho de que alguien nunca murió antes no le hace inmortal.

Regla 8 - Nunca cruce un río que "en media" tenga 1,5 m de profundidad.

Regla 9 - Lea libros de inversores o gestores que expliquen donde y como perdieron el dinero. No aprenderá nada relevante de sus beneficios (los mercados se ajustan y eliminan esos beneficios rápidamente). Usted aprenderá de sus pérdidas mucho más que de sus aciertos.

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