Optimización de Carteras

Los métodos de optimización juegan cada vez un papel más importante en las decisiones financieras. Muchos de los problemas que encontramos diariamente en finanzas, como la configuración de carteras o la gestión del riesgo, pueden ser resueltos de manera más eficiente utilizando las técnicas de optimización modernas.

Como adelantaba en el anterior comentario, podemos especular o invertir utilizando varios activos o concentrar todo nuestro capital en uno solo. En este último caso, si aciertas ganarás una pasta pero si fallas habrás perdido una buena parte o la totalidad del capital.

La teoría de carteras no contempla el suicidio financiero, y por lo tanto, se basa en la diversificación. Los métodos de optimización cobran sentido en este ámbito.

Dada la imposibilidad manifiesta de predecir el precio futuro de un activo concreto (1) no nos queda mas remedio que utilizar la diversificación. Invirtiendo en varios activos el error que cometemos al elegir un activo individual queda diluido, en cierta medida, gracias a la evolución del resto de los activos que componen la cartera.

Pero no podemos diversificar hasta el infinito. Diversificando podríamos anular el riesgo especifico de una cartera casi completamente. Si además, incorporamos a nuestra cartera un futuro vendido sobre el IBEX35 eliminaríamos el riesgo sistemático o de mercado. Sería una cartera sin riesgo. Pero un activo sin riesgo solo paga el tipo de interés sin riesgo. Si solo vamos a obtener la rentabilidad del Euribor evitemos todo este trabajo y los costes asociados y compremos un depósito.

Esta claro. Solo asumiendo riesgo obtendremos rentabilidad. El inversor debe identificar que riesgo quiere aceptar y de que riesgo o riesgos desea protegerse.

Los modelos de selección de carteras, junto con las herramientas de optimización, permiten realizar esta tarea, ponderando la rentabilidad y el riesgo de la inversión en función de las preferencias del inversor de una manera muy eficiente. Por ejemplo, si usted es alcista podemos ponderar los activos de la cartera de forma que tenga una beta ligeramente positiva (que no sea neutral al mercado completamente).

Dado un conjunto de activos previamente seleccionados, la rentabilidad y el riesgo de una cartera dependerán de la proporción invertida en cada uno de ellos. Determinar esos porcentajes es el objetivo de los modelos de selección de cartera.

No basta con elegir los activos en los que vamos a invertir o especular. Es muy importante definir el peso que tendrá cada uno de ellos en la cartera porque ese porcentaje es el que determina realmente el riesgo que asumimos. Una cartera con 90% de Jazztel y 10% en BBVA tiene más riesgo que una cartera con 90% de BBVA y 10% en Jazztel. El problema no es incluir Jazztel sino la ponderación que le asignemos a ese activo.

Mantener ponderaciones adecuadas al riesgo es difícil cuando se van eliminando e introduciendo nuevos activos en nuestra cartera de manera intuitiva a lo largo del tiempo.

Los modelos de asignación de activos permiten definir inicialmente el porcentaje en cada activo y redefinir los pesos de la cartera mientras dure la inversión, por ejemplo, cuando se introducen o eliminan elementos en la cartera, cuando se superan los límites de riesgo establecidos, etc.

Vamos a ilustrar estas ideas utilizando el modelo clásico de Markowitz (2). El riesgo lo medimos con la varianza y la rentabilidad con la media aritmética ponderada de las rentabilidades de los activos que componen la cartera. Ambos cálculos se realizan en base a datos históricos ponderando más los más próximos a la fecha actual.

Nuestro objetivo es construir carteras óptimas. Son óptimas en el sentido de asegurarnos que la cartera que elige el inversor es la que obtiene la máxima rentabilidad para el nivel de riesgo que ha asumido, o también la que tiene el mínimo riesgo de entre todas las que dan la misma rentabilidad.

Para plantear un ejemplo vamos a utilizar los 12 activos que propusieron los Bloggers el mes de octubre para cartera consenso de CARTERAS.ORG . Telefónica, Jazztel, EADS, BBVA, SAN, Realía, Adolfo Domínguez, Ercros, Fersa, Iberia, Mapfre, Zeltia. Los activos más votados fueron Telefónica, Jazztel, EADS, BBVA, SAN.

En el gráfico se puede apreciar una línea discontinua negra que representa la frontera o máximos valores de rentabilidad y riesgo que podemos alcanzar combinando de diferente manera los 12 activos sin imponer restricciones (podemos vender activos pero no apalancarnos).

E[Rp] es la rentabilidad esperada de la carteras y Sigma[p] es la volatilidad esperada de la carteras.

La frontera azul representa las carteras que podemos formar eligiendo entre un universo de 12 activos pero con 2 restricciones: no venta de activos y ponderación máxima por activo del 30%. Aclarar que elegir entre 12 activos no quiere decir que usemos los 12 (pueden usarse 4,5,6,8,9…) . El programa de optimización utilizará los necesarios para obtener la combinación de rentabilidad riesgo óptima con un máximo de 12 en cada cartera.

Al introducir restricciones la rentabilidad posible se reduce y la frontera se desplaza hacia abajo.

Como no queremos incurrir en muchas comisiones hemos introducido (además de las anteriores) la restricción de cardinalidad limitando el número de activos en cartera a 5. Es la línea roja. Evidentemente no podemos, al menos a priori, alcanzar las mismas rentabilidades utilizando 12 activos que utilizando solo 5.

La frontera de color rojo muestra las carteras que podemos hacer tomando un máximo de 5 de entre los 12. Las posibilidades se reducen muchísimo. Trabajar con pocos activos, especializarse , tiene ventajas pero también tiene su coste…

El círculo azul de más abajo presenta la cartera que incluye los 12 activos todos con la misma ponderación (p = 8,33% en cada uno) y que claramente es ineficiente (tiene un rentabilidad del 1,43% mensual) , ya que, ponderándolos de otra manera ( 30% en Telefónica, 1% EADS, 2% en Santander, 30% en Realia, 7% en Fersa y 30% en Iberia) podemos con el mismo riesgo (3,13%) obtener a priori un 5,68% mensual (circunferencia negra mas grande).

 

Cartera	ER(i)	w_CE	ER_CE	Cartera Optima	w_opt	ERp_opt
Telefonica	7,25%	8,33%	1,43%	Telefonica	30%	5,68%
Jazztel	-2,17%	8,33%	Sigma_CE	0	0%	Sigma_opt
EADS	2,78%	8,33%	3,13%	EADS	1%	3,13%
BBVA	-1,88%	8,33%		0	0%
SAN	2,93%	8,33%		SAN	2%
Realia	4,65%	8,33%		Realia	30%
Adolfo Dom.	-5,03%	8,33%		0	0%
Ercros	-2,06%	8,33%		0	0%
Fersa	3,36%	8,33%		Fersa	7%
Iberia	5,94%	8,33%		Iberia	30%
Mapfre	0,53%	8,33%		0	0%
Zeltia	0,81%	8,33%		0	0%

Notas sobre la tabla: Cartera son los 12 activos, ER(i) es la rentabilidad estimada de cada activo, w_CE son los pesos de cada activo en una cartera equiponderada, ER_CE es la rentabilidad esperada de la cartera equiponderada, Sigma_CE es su volatilidad. Las otras columnas son las de la cartera optimizada que tiene el mismo riesgo pero más rentabilidad.

Representada con un círculo verde está la cartera equiponderada usando los 5 activos más votados. Tampoco parece una buena idea, a priori, utilizar esta cartera.

No olvidemos que rentabilidad y riesgo son estimaciones y que por lo tanto, es imposible saber como acabarán estas carteras. Pero hoy ,que es cuando hay que tomar la decisión, está claro que cualquiera de las carteras optimizadas son mejor alternativa que ponderar todos los activos igual.

Las estimaciones se han realizado con datos diarios hasta el 28 de septiembre del 2007. La cartera se considera constituida en esa fecha. A continuación, se ve la evolución de las carteras utilizando datos desde el 1 de octubre hasta el 23 de noviembre.

 

El histograma muestra la rentabilidades diarias que han obtenido cada una de las carteras durante 40 días de negociación desde al 1 de octubre. Ambas tienen parecido comportamiento pero observamos como la cartera optimizada ha caído menos. La cartera optimizada ha caído como máximo un 2%. La cartera equiponderada ha caído hasta un 3%. En todo caso, la cartera optimizada presenta un comportamiento parecido pero con un ahorro en comisiones evidente (6 activos respecto a 12).

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(1) Predecir el precio futuro de un activo es imposible. Las desviaciones son enormes y sistemáticas. El riesgo es enorme y nunca es remunerado adecuadamente por el mercado. Por lo tanto, no tiene sentido invertir en un solo activo. Ahora bien, por el contrario, si tiene sentido la tarea de estudiar e invertir en un número suficiente de activos. ¿Cuántos? Los que creamos necesarios. Con la esperanza de que sean capaces para compensar entre ellos los errores de predicción que cometemos sin pagar excesivas comisiones.

(2) En comentarios posteriores, introduciremos otros modelos más que tienen en cuenta los problemas de asimetría, curtosis, que presentan los rendimientos de los activos financieros.

Todos los cálculos se han realizado en MATLAB. Para obtener las fronteras se ha utilizado la toolbox de finanzas. Para implementar la restricción de cardinalidad se ha utilizado la técnica del templado simulado. Se han utilizado series de datos diarios. Las rentabilidades y el riesgo que se presentan se refieren a un horizonte temporal de un mes.

Nota: La estimación del riesgo en base a datos históricos suele dar buenos resultados. La estimación de rentabilidades en base a datos históricos suele fallar bastante. Introducir en el modelo rentabilidades estimadas con métodos más eficientes mejora bastante las previsiones.

De Heat Maps y correlación...

Cuando tratamos con muchos datos es difícil entenderlos de forma rápida. En ese caso lo mejor es utilizar un modelo visual y explotar la habilidad que tenemos los humanos de entender los gráficos casi instantáneamente.

Convirtiendo los datos en gráficos, usando color, tamaño y formas podemos procesar más rápidamente la información.

Pongamos, por ejemplo, que queremos hacer un análisis de correlación entre activos. Podemos calcular medidas numéricas (como el coeficiente de correlación lineal) y/o hacer un gráfico de la evolución de los activos que nos permita ver como se comportan uno frente al otro.

Como ejemplo, el gráfico muestra las cotizaciones diarias del IBEX35 e Iberdrola durante el último año, normalizadas para poder observarlas en la misma escala. Se puede apreciar como Iberdrola está muy correlacionada con el IBEX35.

Lo mismo pasa con el IBEX35 y Telefónica. Hay momentos en que parecen el mismo activo.

Pero la cosa se complica cuando aumenta el número de correlaciones que hay que mantener en la cabeza o que hay interpretar mediante el gráfico. Como ejemplo, este gráfico muestra la evolución del ultimo año de los activos que proponen los bloggers para la cartera consenso de CARTERAS.ORG octubre 2007.

¿Porque analizar la correlación? La diversificación es, como nos dice la intuición o como demostró Markowitz, una medida eficaz para reducir el riesgo de nuestras inversiones. En general, diversificar es una buena idea aunque no para todos. Algunas inversores dicen que diversificando no es posible lograr buenas rentabilidades, que es mejor apostar todo a una sola apuesta ganadora. La mayoría consideramos que diversificando no te harás rico pero tampoco te arruinarás y preferimos controlar el riesgo que corremos.

Según la teoría de carteras cuando compramos una acción incurrimos en dos tipos de riesgos:
1º Riesgo específico. Riesgo derivado de la propia actividad de la empresa.
2º Riesgo de mercado. Riesgo derivado de la evolución de la economía. La medida más utilizada de este riesgo es la beta respecto a un índice como el IBEX35.

El riesgo de mercado no podemos eliminarlo vía diversificación ( si la economía va mal afectará a todos los activos (empresas) pero si se puede reducir el riesgo específico, eligiendo activos con correlaciones contrarias o nulas.

Suponiendo bastantes cosas, como que los activos se distribuyen según una normal, el coeficiente de correlación lineal nos da una aproximación aceptable de cómo se relacionan dos variables .

Una forma gráfica de analizar las correlaciones de, por ejemplo, el IBEX35 es usar un Heat Map (Mapa de Calor). Un Heat Map presenta un rango de colores en función de los valores introducidos. En nuestro caso el Heat Map lo vamos a denominar Mapa de Riesgo de Correlación.

El siguiente gráfico muestra el Mapa de Riesgo de Correlación del IBEX35 con datos agrupados por similitud basado en el algoritmo k-nn (K nearest neighbors).

Este mapa representa de un modo visual la correlación entre cada par de activos que componen el índice y entre todos ellos y el índice IBEX35. Por ejemplo, muestra la correlación de SGC con BBKT o la correlación del BBVA con el IBEX35.

Las variables (activos) están agrupadas por similitud de correlación. Esto quiere decir que los activos que están en el centro (en torno al valor 1) son los que presentan correlaciones más fuertes entre ellos. Por el contrario, los de los extremos presentan correlaciones más negativas con respecto a los demás. La diagonal representa la correlación de cada uno con el mismo, que evidentemente es 1. Según nos desplazamos hacia la derecha o hacia abajo tendremos los activos que muestran menos correlación con los demás del gráfico.

Observamos una presencia explícita de grupos formados por acciones. Así BBVA, SAN y TEF forman el grupo más correlacionado entre ellos y con el IBEX (es un cuadrado más rojo en el centro de la imagen anterior). Una cartera conformada con estos 3 activos tiene mucho riesgo no remunerado por el mercado.

TL5,MAP,BBKT,POP,BBVA,SAN,TEF,ACS,SAB,IBE,A3TV forman un grupo entorno al Ibex35 (zona roja). Son activos cuya rentabilidad está fuertemente vinculada a la evolución del IBEX35.

Los colores no están elegidos al azar. En el gráfico el color rojo se corresponde con la correlación positiva (activos más calientes) y el color verde con la negativa. Si queremos componer la cartera con activos del IBEX35 será interesante mezclar activos utilizando los de la zona verde (activos más a la derecha o abajo).

Un Heat Map además de visualizar y elegir activos con baja correlación, también nos permite monitorizar la cartera, una vez realizada, vigilando el grado de concentración que tiene.

Imaginemos que queremos configurar una cartera de activos. Una posibilidad podría ser usar los 5 activos de la cartera consenso de octubre de CARTERAS.ORG . Hacemos nuestro Heat Map y se enciende la luz roja. Estamos asumiendo mucho riesgo. Las correlaciones entre TEF, SAN, BBVA son muy altas y también son altas sus correlaciones con el Índice General de la Bolsa de Madrid (SMSI). En la periferia se sitúan EADS y JAZZ.

En el siguiente gráfico están el total de activos (12) recomendados por los bloggers en CARTERAS.ORG .

El trío SAN, TEF, BBVA aparece de nuevo. Pero hay otros activos en el gráfico (MAP, ZEL,FRS, EADS,JAZ) que podemos considerar para disminuir el riesgo de nuestra cartera . Considerar estos activos nos ayudará ha encontrar una combinación de 5 activos que tenga rentabilidad esperada similar que la cartera inicial de 5 activos pero con menos riesgo.